Mostre que se K e K’ são dois sistemas de coordenadas retangulares relacionados por uma transformação ortogonal, então K e K’ têm bases de mesma orientação se a transformação é própria, e orientações opostas se a transformação é imprópria.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá-se que
e são dois sistemas de coordenadas retangulares (isto é, cada um tem uma base ortonormal ordenada) e que estão relacionados por uma transformação ortogonal. - Pede-se para mostrar que:
- se a transformação é própria, então
e têm bases de mesma orientação; - se a transformação é imprópria, então
e têm orientações opostas.
- se a transformação é própria, então
- Informação explícita que vamos usar (retirada do enunciado): há uma matriz real
que representa a transformação entre as bases de e , e essa matriz é ortogonal.
Passo 2
Definição precisa e intuitiva de “orientação de uma base” (fundamental para a prova).
- Formalmente: dadas duas bases ordenadas
e de um espaço vetorial real de dimensão , a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas de -para- é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores expressos na base . As duas bases têm a mesma orientação se e somente se ; têm orientações opostas se e somente se . - Intuição: o sinal do determinante mede se a transformação preserva ou inverte o “sentido” do volume orientado (ou, em 3D, o sentido do produto vetorial / regra da mão direita).
Passo 3
Definição e propriedades das matrizes ortogonais (para usar com clareza).
- Uma matriz real
é ortogonal se satisfaz
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade.
- Propriedade útil do determinante: tomando determinante em ambos os lados de
obtemos
Como
, isso dá
- Logo
- Terminologia: se
diz-se que é uma transformação ortogonal própria (rotação ou combinação de rotações); se diz-se que é ortogonal imprópria (por exemplo reflexão ou rotação seguida de reflexão).
Passo 4
Relacionando as bases de
e
com a matriz ortogonal.
- Seja
a base ortonormal ordenada do sistema . Seja a base ortonormal ordenada do sistema . - Cada vetor
pode ser expresso em coordenadas na base . Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos a matriz
onde cada coluna é a representação de
na base
.
- Pelo enunciado a transformação que leva os vetores de
para é ortogonal, portanto a matriz assim construída é ortogonal e satisfaz .
Passo 5
Conectar determinante da matriz de mudança de base com conservação ou inversão da orientação — conclusão lógica.
- Pela definição de orientação (Passo 2),
e têm a mesma orientação se e somente se , e têm orientações opostas se e somente se . - Como
é ortogonal, do Passo 3 sabemos que só pode ser ou . - Portanto:
- Se a transformação ortogonal é própria, isto é,
, então e as bases de e têm a mesma orientação. - Se a transformação ortogonal é imprópria, isto é,
, então e as bases de e têm orientações opostas.
- Se a transformação ortogonal é própria, isto é,
- Observação intuitiva final: uma transformação com
preserva o “volume orientado” e o sentido (por exemplo uma rotação); uma com inverte o sentido (por exemplo uma reflexão), daí a inversão da orientação.
Resposta
Se a transformação ortogonal é própria (
), então
e
têm bases de mesma orientação. Se a transformação é imprópria (
), então
e
têm orientações opostas.