Mostre que se K e K’ são dois sistemas de coordenadas retangulares relacionados por uma transformação ortogonal, então K e K’ têm bases de mesma orientação se a transformação é própria, e orientações opostas se a transformação é imprópria.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá-se que K e K' são dois sistemas de coordenadas retangulares (isto é, cada um tem uma base ortonormal ordenada) e que estão relacionados por uma transformação ortogonal.
  • Pede-se para mostrar que:
    • se a transformação é própria, então K e K' têm bases de mesma orientação;
    • se a transformação é imprópria, então K e K' têm orientações opostas.
  • Informação explícita que vamos usar (retirada do enunciado): há uma matriz real Q que representa a transformação entre as bases de K e K', e essa matriz é ortogonal.

Passo 2

Definição precisa e intuitiva de “orientação de uma base” (fundamental para a prova).
  • Formalmente: dadas duas bases ordenadas (v_1,\dots,v_n) e (w_1,\dots,w_n) de um espaço vetorial real de dimensão n, a matriz de mudança de base A que transforma as coordenadas de v-para- w é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores w_j expressos na base v. As duas bases têm a mesma orientação se e somente se \det(A)>0; têm orientações opostas se e somente se \det(A)<0.
  • Intuição: o sinal do determinante mede se a transformação preserva ou inverte o “sentido” do volume orientado (ou, em 3D, o sentido do produto vetorial / regra da mão direita).

Passo 3

Definição e propriedades das matrizes ortogonais (para usar com clareza).
  • Uma matriz real Q é ortogonal se satisfaz
Q^{T}Q=I,
onde Q^{T} é a transposta de Q e I é a matriz identidade.
  • Propriedade útil do determinante: tomando determinante em ambos os lados de Q^{T}Q=I obtemos
\det(Q^{T}Q)=\det(I).
Como \det(Q^{T})=\det(Q), isso dá
(\det(Q))^2=\det(I)=1.
  • Logo
\det(Q)=\pm 1.
  • Terminologia: se \det(Q)=+1 diz-se que Q é uma transformação ortogonal própria (rotação ou combinação de rotações); se \det(Q)=-1 diz-se que é ortogonal imprópria (por exemplo reflexão ou rotação seguida de reflexão).

Passo 4

Relacionando as bases de K e K' com a matriz ortogonal.
  • Seja (e_1,\dots,e_n) a base ortonormal ordenada do sistema K. Seja (e'_1,\dots,e'_n) a base ortonormal ordenada do sistema K'.
  • Cada vetor e'_j pode ser expresso em coordenadas na base (e_i). Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos a matriz
Q=[\,e'_1\\ \\ e'_2\\ \\ \cdots\\ \\ e'_n\,],
onde cada coluna é a representação de e'_j na base (e_i).
  • Pelo enunciado a transformação que leva os vetores de K para K' é ortogonal, portanto a matriz Q assim construída é ortogonal e satisfaz \det(Q)=\pm1.

Passo 5

Conectar determinante da matriz de mudança de base com conservação ou inversão da orientação — conclusão lógica.
  • Pela definição de orientação (Passo 2), K e K' têm a mesma orientação se e somente se \det(Q)>0, e têm orientações opostas se e somente se \det(Q)<0.
  • Como Q é ortogonal, do Passo 3 sabemos que \det(Q) só pode ser +1 ou -1.
  • Portanto:
    • Se a transformação ortogonal é própria, isto é, \det(Q)=+1, então \det(Q)>0 e as bases de K e K' têm a mesma orientação.
    • Se a transformação ortogonal é imprópria, isto é, \det(Q)=-1, então \det(Q)<0 e as bases de K e K' têm orientações opostas.
  • Observação intuitiva final: uma transformação com \det=+1 preserva o “volume orientado” e o sentido (por exemplo uma rotação); uma com \det=-1 inverte o sentido (por exemplo uma reflexão), daí a inversão da orientação.

Resposta

Se a transformação ortogonal é própria ( \det=+1), então K e K' têm bases de mesma orientação. Se a transformação é imprópria ( \det=-1), então K e K' têm orientações opostas.

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