Escreva a derivada covariante em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a derivada covariante em coordenadas cilíndricas. Vou tomar as coordenadas cilíndricas padrão (r,\varphi,z) (com r>0, \varphi angular e z eixo vertical) e apresentar:
a métrica em coordenadas cilíndricas e sua razão de ser;
os símbolos de Christoffel não nulos (necessários para a derivada covariante);
a expressão geral da derivada covariante de um vetor e de um covetor em componentes, e alguns casos úteis (por exemplo divergente);
Tudo o que eu usar será explicitado — valores das componentes da métrica eu peguei das relações padrão entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.
Passo 2
Definição das coordenadas e da métrica (linha de elemento).
As coordenadas cilíndricas relacionam-se com as cartesianas por:
x = r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi,\qquad z=z.
Calculando o elemento de linha ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2 obtém-se
ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2 + dz^2.
Portanto a métrica em coordenadas (r,\varphi,z) tem componentes (matriz diagonal)
Explicação curta: g_{ij} diz como medir distâncias; no termo angular aparece r^2 porque uma variação \Delta\varphi corresponde a arco de comprimento r\,\Delta\varphi.]
Passo 3
Fórmula dos símbolos de Christoffel e cálculo dos não nulos.
A definição dos símbolos de Christoffel (Levi-Civita) é
onde \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x^i} (no nosso caso x^1=r,\;x^2=\varphi,\;x^3=z). Vamos calcular as derivadas necessárias da métrica: a única dependência não trivial é g_{\varphi\varphi}=r^2, então
\nabla_i V^j é a componente i da 1-forma que resulta da derivação covariante aplicada a V^j;
\partial_i V^j é a derivada parcial usual da componente V^j em relação à coordenada x^i;
\Gamma^{j}_{\;ik} V^k corrige a variação por causa da curvatura/curvilinearidade da base.
Aplicando os símbolos de Christoffel encontrados temos as componentes explícitas (lista útil para fazer contas em prova). Denotando V^r,V^\varphi,V^z as componentes do vetor:
Explicação prática: ao derivar a componente angular aparecem termos extra \pm r ou 1/r por causa do fato de que a base coordenada \partial_\varphi tem comprimento proporcional a r.]
Passo 5
Derivada covariante de um covetor (com índice baixo) e regra geral para tensores.
Para um covetor W_j vale
(Isto é, adiciona-se um termo \Gamma para cada índice contravariante e subtrai-se para cada índice covariante.)]
Passo 6
Exemplo prático: divergente de um campo vetorial (fórmula útil em problemas).
A divergência é \nabla_i V^i. Usando \nabla_i V^i=\partial_i V^i + \Gamma^{i}_{\;ik}V^k e lembrando que a única contribuição não nula é \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}=1/r, obtemos