Escreva a derivada covariante em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a derivada covariante em coordenadas cilíndricas. Vou tomar as coordenadas cilíndricas padrão (r,\varphi,z) (com r>0, \varphi angular e z eixo vertical) e apresentar:
  • a métrica em coordenadas cilíndricas e sua razão de ser;
  • os símbolos de Christoffel não nulos (necessários para a derivada covariante);
  • a expressão geral da derivada covariante de um vetor e de um covetor em componentes, e alguns casos úteis (por exemplo divergente);
    Tudo o que eu usar será explicitado — valores das componentes da métrica eu peguei das relações padrão entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

Passo 2

Definição das coordenadas e da métrica (linha de elemento).
As coordenadas cilíndricas relacionam-se com as cartesianas por:
x = r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi,\qquad z=z.
Calculando o elemento de linha ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2 obtém-se
ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2 + dz^2.
Portanto a métrica em coordenadas (r,\varphi,z) tem componentes (matriz diagonal)
g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & r^2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta: g_{ij} diz como medir distâncias; no termo angular aparece r^2 porque uma variação \Delta\varphi corresponde a arco de comprimento r\,\Delta\varphi.]

Passo 3

Fórmula dos símbolos de Christoffel e cálculo dos não nulos.
A definição dos símbolos de Christoffel (Levi-Civita) é
\Gamma^{k}_{\;ij}=\frac{1}{2}\,g^{k\ell}\!\big(\partial_i g_{\ell j}+\partial_j g_{\ell i}-\partial_\ell g_{ij}\big),
onde \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x^i} (no nosso caso x^1=r,\;x^2=\varphi,\;x^3=z). Vamos calcular as derivadas necessárias da métrica: a única dependência não trivial é g_{\varphi\varphi}=r^2, então
\partial_r g_{\varphi\varphi}=\partial_r (r^2)=2r, \qquad \partial_\varphi g_{ij}=0, \qquad \partial_z g_{ij}=0.
Usando a fórmula, os únicos símbolos de Christoffel não nulos são:
  • calcular \Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}:
\Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}=\frac{1}{2}g^{rr}\big(0+0-\partial_r g_{\varphi\varphi}\big) =-\frac{1}{2}(1)\cdot(2r)=-r.
  • calcular \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi} (e pela simetria em i\leftrightarrow j temos \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r} igual):
\Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}=\frac{1}{2}g^{\varphi\varphi}\big(\partial_r g_{\varphi\varphi}+0-0\big) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{r^2}\right)\cdot(2r)=\frac{1}{r}.
Todas as outras componentes são zero. Resumindo os não nulos:
\Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}=-r,\qquad \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}=\frac{1}{r}.

Passo 4

Definição da derivada covariante e interpretação dos termos.
Para um campo vetorial contravariante V^j a derivada covariante é
\nabla_i V^j = \partial_i V^j + \Gamma^{j}_{\;ik} V^k.
Aqui:
  • \nabla_i V^j é a componente i da 1-forma que resulta da derivação covariante aplicada a V^j;
  • \partial_i V^j é a derivada parcial usual da componente V^j em relação à coordenada x^i;
  • \Gamma^{j}_{\;ik} V^k corrige a variação por causa da curvatura/curvilinearidade da base.
Aplicando os símbolos de Christoffel encontrados temos as componentes explícitas (lista útil para fazer contas em prova). Denotando V^r,V^\varphi,V^z as componentes do vetor:
\begin{aligned} \nabla_r V^r &= \partial_r V^r,\\[4pt] \nabla_\varphi V^r &= \partial_\varphi V^r + \Gamma^{r}_{\;\varphi k}V^k = \partial_\varphi V^r + \Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}V^\varphi = \partial_\varphi V^r - r\,V^\varphi,\\[4pt] \nabla_z V^r &= \partial_z V^r, \end{aligned}
\begin{aligned} \nabla_r V^\varphi &= \partial_r V^\varphi + \Gamma^{\varphi}_{\;r k}V^k = \partial_r V^\varphi + \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}V^\varphi = \partial_r V^\varphi + \frac{1}{r}V^\varphi,\\[4pt] \nabla_\varphi V^\varphi &= \partial_\varphi V^\varphi + \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi k}V^k = \partial_\varphi V^\varphi + \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}V^r = \partial_\varphi V^\varphi + \frac{1}{r}V^r,\\[4pt] \nabla_z V^\varphi &= \partial_z V^\varphi, \end{aligned}
e para a componente z (não havendo dependência da métrica em z e nenhum \Gamma envolvendo z):
\nabla_i V^z=\partial_i V^z\qquad\text{para }i=r,\varphi,z.
Explicação prática: ao derivar a componente angular aparecem termos extra \pm r ou 1/r por causa do fato de que a base coordenada \partial_\varphi tem comprimento proporcional a r.]

Passo 5

Derivada covariante de um covetor (com índice baixo) e regra geral para tensores.
Para um covetor W_j vale
\nabla_i W_j = \partial_i W_j - \Gamma^{k}_{\;ij} W_k.
Usando os \Gamma não nulos, componentes importantes são:
\begin{aligned} \nabla_r W_\varphi &= \partial_r W_\varphi - \Gamma^{k}_{\;r\varphi}W_k = \partial_r W_\varphi - \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}W_\varphi = \partial_r W_\varphi - \frac{1}{r}W_\varphi,\\[4pt] \nabla_\varphi W_r &= \partial_\varphi W_r - \Gamma^{k}_{\;\varphi r}W_k = \partial_\varphi W_r - \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}W_\varphi = \partial_\varphi W_r - \frac{1}{r}W_\varphi,\\[4pt] \nabla_\varphi W_\varphi &= \partial_\varphi W_\varphi - \Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}W_r = \partial_\varphi W_\varphi + r\,W_r. \end{aligned}
Regra geral para um tensor T^{a\cdots}_{\;b\cdots}:
\nabla_i T^{a\cdots}_{\;b\cdots} = \partial_i T^{a\cdots}_{\;b\cdots} + \Gamma^{a}_{\;i\ell}T^{\ell\cdots}_{\;b\cdots}+\cdots - \Gamma^{\ell}_{\;ib}T^{a\cdots}_{\;\ell\cdots}-\cdots
(Isto é, adiciona-se um termo \Gamma para cada índice contravariante e subtrai-se para cada índice covariante.)]

Passo 6

Exemplo prático: divergente de um campo vetorial (fórmula útil em problemas).
A divergência é \nabla_i V^i. Usando \nabla_i V^i=\partial_i V^i + \Gamma^{i}_{\;ik}V^k e lembrando que a única contribuição não nula é \Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}=1/r, obtemos
\nabla_i V^i = \partial_r V^r + \partial_\varphi V^\varphi + \partial_z V^z + \frac{1}{r}V^r = \frac{1}{r}\partial_r\big(r V^r\big) + \partial_\varphi V^\varphi + \partial_z V^z.
Esta é a forma familiar da divergência em coordenadas cilíndricas para componentes coordenadas V^r,V^\varphi,V^z.

Passo 7

Resumo final compacto (para consulta rápida).
  • Métrica:
g_{ij}=\operatorname{diag}\big(1,\;r^2,\;1\big),\qquad g^{ij}=\operatorname{diag}\big(1,\;r^{-2},\;1\big).
  • Símbolos de Christoffel não nulos:
\Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}=-r,\qquad \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}=\frac{1}{r}.
  • Derivada covariante de um vetor:
\nabla_i V^j=\partial_i V^j+\Gamma^{j}_{\;ik}V^k,
com as componentes explicitadas no Passo 4.
  • Derivada covariante de um covetor:
\nabla_i W_j=\partial_i W_j-\Gamma^{k}_{\;ij}W_k,
com exemplos no Passo 5.
  • Divergência:
\nabla_i V^i=\frac{1}{r}\partial_r\big(rV^r\big)+\partial_\varphi V^\varphi+\partial_z V^z.

Resposta

Métrica: g_{ij}=\mathrm{diag}(1,\;r^2,\;1).
Não nulos: \Gamma^{r}_{\;\varphi\varphi}=-r,\\ \Gamma^{\varphi}_{\;r\varphi}=\Gamma^{\varphi}_{\;\varphi r}=\dfrac{1}{r}.
Derivada covariante geral: \nabla_i V^j=\partial_i V^j+\Gamma^{j}_{\;ik}V^k.
Componentes úteis:
\begin{aligned} \nabla_r V^r&=\partial_r V^r, & \nabla_\varphi V^r&=\partial_\varphi V^r - rV^\varphi, & \nabla_z V^r&=\partial_z V^r,\\[4pt] \nabla_r V^\varphi&=\partial_r V^\varphi + \dfrac{1}{r}V^\varphi, & \nabla_\varphi V^\varphi&=\partial_\varphi V^\varphi + \dfrac{1}{r}V^r, & \nabla_i V^z&=\partial_i V^z. \end{aligned}
Covetor:
\nabla_r W_\varphi=\partial_r W_\varphi-\dfrac{1}{r}W_\varphi,\qquad \nabla_\varphi W_r=\partial_\varphi W_r-\dfrac{1}{r}W_\varphi,\qquad \nabla_\varphi W_\varphi=\partial_\varphi W_\varphi + r W_r.
Divergência:
\nabla_i V^i=\frac{1}{r}\partial_r\big(rV^r\big)+\partial_\varphi V^\varphi+\partial_z V^z.]

Exercícios relacionados