Determine x[0], x[1] e x[2] do sinal cuja transformada Z é dada por
X(z)=sumk=-infty^+infty x[k] z^-k=2 z+1z^2+4 z+3 , |z|>3

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar os primeiros valores do sinal discreto X(z)=sumk=-infty^+infty x[k],z^-k ;=;2z+1z^2+4z+3, |z|>3 , ou seja, e , sabendo que a Transformada dele é
Conteúdo envolvido: parcial de frações pra quebrar em termos simples, depois a expansão em séries de potências em (já que a região de convergência indica sequência causal).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
z^2+4z+3=(z+1)(z+3)
Aí assumimos uma decomposição em frações parciais:
2z+1(z+1)(z+3)=Az+1+Bz+3
Multiplicando pelos fatores dá
2z+1 ;=;A(z+3)+B(z+1);=;(A+B),z+(3A+B)
Igualando coeficientes:
A+B=2, 3A+B=1 Longrightarrow A=-tfrac12, B=tfrac52
Logo
X(z)=-tfrac12,1z+1+tfrac52,1z+3

Passo 3

Para inverter a transformada, lembramos que
1z+a =;z^-1,11+a,z^-1 =sumk=1^infty(-a)^,k-1,z^-k, se |z^-1|
Como nossa ROC é -tfrac12,1z+1 =;-tfrac12,sumk=1^infty(-1)^k-1,z^-k, , temos tfrac52,1z+3 =;tfrac52,sumk=1^infty(-3)^k-1,z^-k , tudo bem para expandir em potências de X(z)=sumk=1^infty l[-tfrac12(-1)^k-1+tfrac52(-3)^k-1r],z^-k .
Então:
Somando as duas séries, obtemos
Note que não aparece termo em , então .

Passo 4

Agora basta pegar x[1] =-tfrac12(-1)^0+tfrac52(-3)^0 =-tfrac12cdot1+tfrac52cdot1 =2 e x[2] =-tfrac12(-1)^1+tfrac52(-3)^1 =-tfrac12cdot(-1)+tfrac52cdot(-3) =tfrac12-tfrac152 =-7 :
Para :
Para :

Resposta

x[0] = 0,
x[1] = 2,
x[2] = -7.

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