Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
a) X(z)=2 z(z-1)(z+1),|z|>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar a transformada inversa de
X(z)=2,z(z-1)(z+1), com região |z|>1 ã
Isso é um problema de Transformada Z inversa: a matéria é Processamento de Sinais Discretos, e a gente vai precisar de –
  1. Saber fazer frações parciais;
  2. Saber expandir cada termo em séries de potências de para o ROC ;
  3. Reconhecer o coeficiente de como .

Passo 2

Primeiro, fazemos frações parciais em 2z(z-1)(z+1) ;=;Az-1+Bz+1 :
2z = A(z+1) + B(z-1)
Multiplicando ambos os lados por X(z) = 1z-1 + 1z+1 , dá
Comparando coeficientes de e termos constantes:
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
    Da segunda equação . Substituindo em vem , logo .
    Então

Passo 3

Agora queremos expandir cada pedaço como série em 1z-1 =1zl(1-1/zr) =1z,11-1/z =sumn=0^infty 1zl(1/zr)^n =sumn=0^infty z^-n-1 , válida para 1z+1 =1z,11-(-1/z) =sumn=0^infty (-1)^n,z^-n-1 .
  1. Para X(z)=sumn=0^infty z^-n-1 ;+;sumn=0^infty (-1)^n,z^-n-1 =sumn=0^inftyl(1+(-1)^nr),z^-n-1 , escrevemos
  1. Para , de modo análogo:
Somando as duas séries:

Passo 4

A Transformada Z é x[k] = 1 + (-1)^k-1, k>=1, . Aqui temos potências , então . Isso significa
e não há termo em ( ), então . Para também (sequência causal).

Resposta

boxedx[n] = 1 + (-1)^,n-1, & n>=1, 0, & n<=0
Ou, em palavras: para , se é ímpar e se é par; fora disso, vale zero.

Exercícios relacionados