Determine a Transformada Z inversa para as funções e regiões dadas a seguir:
f) X(z)=z+1z+1 / 3,|z|>1 / 3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a sequência inversa X(z)=z+1z+tfrac13, cuja Transformada Z é
com Região de Convergência .
Conteúdo: transformada Z inversa usando expansão em série de potências (geometric series).
O que vamos precisar:
  • Reescrever em potências de ,
  • Usar a série geométrica válida para ,
  • Identificar os coeficientes dos termos como .

Passo 2

Primeiro, jogamos tudo em termos de X(z)=z+1z+tfrac13 =zl(1+z^-1r)zl(1+tfrac13,z^-1r) =1+z^-11+tfrac13,z^-1 . Note que
Isso facilita porque, com , a condição vale, e a gente pode usar a série geométrica.

Passo 3

Aplicando a expansão geométrica em 11+tfrac13,z^-1 =sumk=0^inftyl(-tfrac13,z^-1r)^k =sumk=0^infty(-1)^k!l(tfrac13r)^k,z^-k , temos
X(z)=(1+z^-1)sumk=0^infty(-1)^k!l(tfrac13r)^k,z^-k =sumk=0^infty(-1)^kl(tfrac13r)^k z^-k +sumk=0^infty(-1)^kl(tfrac13r)^k z^-(k+1)
Então

Passo 4

Agora a gente identifica os coeficientes de x[n]=(-1)^nl(tfrac13r)^n +(-1)^n-1l(tfrac13r)^n-1 para n>=1 .
  1. No primeiro somatório, o termo x[n] =(-1)^n-1l(tfrac13r)^n-1 l[-tfrac13+1r] =(-1)^n-1l(tfrac13r)^n-1,tfrac23 =23l(-tfrac13r)^,n-1 aparece quando , ou seja tem coeficiente
    .
  2. No segundo, para dar precisa , logo , coeficiente
    .
    Somando esses dois contributions para :
Para só existe o primeiro somatório com , logo .
Podemos simplificar para :

Resposta

A sequência inversa é
x[n]= 1, & n=0, 23l(-tfrac13r)^n-1, & n>=1, 0, & n<0

Exercícios relacionados