Determine se o sistema é causal ou não-causal:
y(t)=x(t-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema é causal ou não-causal. A informação dada é a equação que relaciona entrada e saída:
y(t)=x(t-1).
Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Definição formal de causalidade (explicada passo a passo).
Um sistema é dito causal se, para qualquer instante t_0, o valor da saída em t_0 depende somente dos valores da entrada em instantes \tau tais que \tau \le t_0 (isto é, do presente e do passado), e não depende de valores da entrada com \tau>t_0 (futuro).
Uma forma equivalente e útil para provas é: se x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0, então as saídas correspondentes satisfazem y_1(t_0)=y_2(t_0).
Aqui:
  • x_1 e x_2 são duas possíveis entradas;
  • y_1 e y_2 são as saídas do sistema quando as entradas são x_1 e x_2;
  • t_0 é um instante fixo arbitrário.

Passo 3

Intuição bem prática: se para calcular y em um certo instante eu preciso saber x num instante que ainda não ocorreu (um x no futuro em relação ao instante considerado), o sistema é não-causal — isso não é possível em tempo real sem “olhar adiante”. Se eu só uso valores de x do próprio instante ou de instantes anteriores, o sistema é causal.

Passo 4

Aplique a equação do sistema num instante arbitrário t_0.
Substituindo t=t_0 na relação dada, temos
y(t_0)=x(t_0-1).
Isto diz que a saída em t_0 é igual ao valor da entrada no instante t_0-1.

Passo 5

Compare os instantes usados: note que
t_0-1 < t_0.
Ou seja, x(t_0-1) é um valor da entrada em um instante anterior a t_0 (passado). Portanto, para obter y(t_0) o sistema usa apenas um valor da entrada no passado (mais precisamente, um atraso de 1 unidade de tempo).

Passo 6

Prova direta usando a definição equivalente. Suponha que x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0. Em particular, como t_0-1\le t_0, tem-se x_1(t_0-1)=x_2(t_0-1). Então
y_1(t_0)=x_1(t_0-1)=x_2(t_0-1)=y_2(t_0).
Como isso vale para qualquer t_0 e quaisquer x_1,x_2 que coincidam até t_0, segue que o sistema é causal segundo a definição formal.

Passo 7

Regra prática para a prova (dica rápida): um deslocamento temporal x(t-\tau) com \tau>0 é um atraso (delay) e indica dependência do passado → geralmente causal. Um deslocamento x(t+\tau) com \tau>0 é um adiantamento (advance) e indica dependência do futuro → não-causal. Exemplos:
  • y(t)=x(t) é causal.
  • y(t)=x(t-1) (o caso dado) é causal.
  • y(t)=x(t+1) é não-causal.

Passo 8

Resumo e incentivo: o sistema usa apenas o valor de x em um instante anterior ao instante de interesse, portanto é causal. Na prova, sempre fixe um t_0, escreva y(t_0) e verifique se o argumento de x é \le t_0; isso é rápido e à prova de erros. Força — sei que é sufoco, mas isso você resolve fácil agora!

Resposta

O sistema é causal.

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