Determine se o sistema é causal ou não-causal:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema é causal ou não-causal. A informação dada é a equação que relaciona entrada e saída:
.
Não há outros dados no enunciado.
Não há outros dados no enunciado.
Passo 2
Definição formal de causalidade (explicada passo a passo).
Um sistema é dito causal se, para qualquer instante , o valor da saída em
depende somente dos valores da entrada em instantes
tais que
(isto é, do presente e do passado), e não depende de valores da entrada com
(futuro).
Uma forma equivalente e útil para provas é: se para todo
, então as saídas correspondentes satisfazem
.
Aqui:
Um sistema é dito causal se, para qualquer instante
Uma forma equivalente e útil para provas é: se
Aqui:
-
e são duas possíveis entradas; -
e são as saídas do sistema quando as entradas são e ; -
é um instante fixo arbitrário.
Passo 3
Intuição bem prática: se para calcular
em um certo instante eu preciso saber
num instante que ainda não ocorreu (um
no futuro em relação ao instante considerado), o sistema é não-causal — isso não é possível em tempo real sem “olhar adiante”. Se eu só uso valores de
do próprio instante ou de instantes anteriores, o sistema é causal.
Passo 4
Aplique a equação do sistema num instante arbitrário
.
Substituindo na relação dada, temos
.
Isto diz que a saída em é igual ao valor da entrada no instante
.
Substituindo
Isto diz que a saída em
Passo 5
Compare os instantes usados: note que
.
Ou seja, é um valor da entrada em um instante anterior a
(passado). Portanto, para obter
o sistema usa apenas um valor da entrada no passado (mais precisamente, um atraso de 1 unidade de tempo).
Ou seja,
Passo 6
Prova direta usando a definição equivalente. Suponha que
para todo
. Em particular, como
, tem-se
. Então
.
Como isso vale para qualquer e quaisquer
que coincidam até
, segue que o sistema é causal segundo a definição formal.
Como isso vale para qualquer
Passo 7
Regra prática para a prova (dica rápida): um deslocamento temporal
com
é um atraso (delay) e indica dependência do passado → geralmente causal. Um deslocamento
com
é um adiantamento (advance) e indica dependência do futuro → não-causal. Exemplos:
-
é causal. -
(o caso dado) é causal. -
é não-causal.
Passo 8
Resumo e incentivo: o sistema usa apenas o valor de
em um instante anterior ao instante de interesse, portanto é causal. Na prova, sempre fixe um
, escreva
e verifique se o argumento de
é
; isso é rápido e à prova de erros. Força — sei que é sufoco, mas isso você resolve fácil agora!
Resposta
O sistema é causal.