Determine se o sistema é instantâneo ou dinâmico:
y(t)=\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado dá a relação entre entrada e saída do sistema:
y(t)=\frac{d x(t)}{d t}.
A pergunta é: determinar se este sistema é instantâneo (memoryless) ou dinâmico (possui memória).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável de entrada é x(t).
  • A variável de saída é y(t).
  • A relação entre entrada e saída é a derivada temporal de x(t).

Passo 2

O que significa “instantâneo” (memoryless) e “dinâmico” (com memória)? Vou explicar devagar e sem jargão:
  • Um sistema é instantâneo (ou memoryless) se, para todo instante t_0, o valor da saída em t_0 depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante t_0. Em forma matemática simples: existe uma função F tal que, para todo t,
y(t)=F\bigl(x(t)\bigr).
Isso implica que, se duas entradas x_1(t) e x_2(t) têm o mesmo valor em t_0, ou seja x_1(t_0)=x_2(t_0), então suas saídas naquele instante também coincidem: y_1(t_0)=y_2(t_0).
  • Um sistema é dinâmico (ou tem memória) se a saída em t_0 depende de valores da entrada em outros instantes (passado e/ou vizinhança de t_0), não sendo possível escrever y(t) apenas como uma função de x(t).

Passo 3

Vamos olhar para a própria definição da derivada para entender de onde vem a dependência no tempo. A derivada de x(t) em t é definida como
\frac{d x(t)}{d t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.
Essa expressão mostra que, em princípio, para conhecer \dfrac{d x(t)}{d t} é necessário conhecer os valores de x em instantes próximos a t (por exemplo x(t+\Delta t) e x(t), ou numa versão com diferença para trás x(t)-x(t-\Delta t)). Ou seja, a derivada envolve a variação de x ao redor de t, não apenas o valor instantâneo x(t).

Passo 4

Uma maneira direta e rigorosa de concluir é usar o critério de memórialess por contra-exemplo. Suponha, por contradição, que o sistema fosse instantâneo. Então existiria uma função F tal que
\frac{d x(t)}{d t}=F\bigl(x(t)\bigr)
para todo t. Se isso fosse verdade, então sempre que duas entradas tiverem o mesmo valor em t_0 as saídas em t_0 também seriam iguais.
Agora constrói-se um contra-exemplo simples: escolha t_0=0 (sem perda de generalidade) e duas entradas
x_1(t)=0\quad\text{para todo }t,
x_2(t)=a\,t\quad\text{para todo }t,
onde a é uma constante diferente de zero (por exemplo a=1). Essas duas funções satisfazem
x_1(0)=0,\qquad x_2(0)=0,
ou seja, têm o mesmo valor em t_0=0. Mas as derivadas em 0 são
\frac{d x_1}{d t}\Big|_{t=0}=0,\qquad \frac{d x_2}{d t}\Big|_{t=0}=a\neq 0.
Portanto as saídas correspondentes são diferentes em t_0:
y_1(0)=0,\qquad y_2(0)=a.
Isto contradiz a propriedade necessária para um sistema instantâneo (duas entradas com mesmo valor em t_0 teriam de gerar a mesma saída em t_0). Logo o sistema não pode ser instantâneo.

Passo 5

Intuição prática e alternativa: na prova é útil lembrar que operações que envolvem derivadas, integrais, atrasos ou médias sobre intervalo são sempre operações que “verificam” como a entrada muda ao longo do tempo — portanto carregam informação do passado/vizinhança. Essas operações dão ao sistema memória, isto é, o sistema é dinâmico.
Resumo motivador: não se assuste com a palavra “dinâmico” — significa só que a saída olha para além do valor pontual da entrada. A derivada precisa saber como x(t) está mudando, então precisa de informação em instantes próximos a t; por isso o sistema tem memória.

Resposta

Dinâmico (possui memória).

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