Determine se o sistema é estável ou não-estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output):
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema dado por
é estável ou não no sentido BIBO (bounded input / bounded output).
Informações fornecidas:
- A descrição do sistema é a relação entre entrada e saída:
. - Não há outras restrições de tempo, linearidade ou causalidade no enunciado.
O que é pedido:
- Decidir se, para toda entrada limitada (bounded)
, a saída também permanece limitada por alguma constante finita.
Passo 2
Definição exata de estabilidade BIBO (explicada devagarinho).
- Dizemos que uma sinal/ sistema é BIBO estável se a seguinte condição vale:
- Para todo sinal de entrada
que seja limitado, ou seja, se existir uma constante finita tal que então a saída também é limitada: existe uma constante finita tal que
- Para todo sinal de entrada
- Observação importante: o valor
pode depender de , isso é permitido. O que importa é que seja finito para qualquer finito.
Passo 3
Manipulação algébrica da saída (propriedade de módulo).
- Calculemos o valor absoluto da saída em função do valor absoluto da entrada:
- Aqui usei a propriedade básica de módulos:
para qualquer número real (ou complexo).
Passo 4
Aplicando a hipótese de entrada limitada e obtendo um limite para a saída.
- Suponha que a entrada seja limitada: existe
tal que para todo . - Então, a partir de
temos, para todo , - Logo, podemos escolher
, que é uma constante finita, independente de , e que limita para todo .
Passo 5
Interpretação e conclusão lógica (sem a palavra final técnica ainda).
- Demonstrou-se formalmente que: se a entrada é limitada por uma constante finita
, então a saída é limitada por , também finita. - Isso satisfaz exatamente a condição da definição de BIBO: para qualquer entrada limitada existe uma constante finita que limita a saída.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a ideia (para usar na prova e memorizar).
- Exemplo 1:
. Tem . Então . Saída limitada por . - Exemplo 2:
. Tem . Então . Saída limitada por . - Contraexemplo de entrada não limitada (só para comparar): se
(não limitada), então também não é limitada. Isso não contradiz a estabilidade BIBO, porque a hipótese BIBO exige que a entrada seja limitada.
Passo 7
Observações pedagógicas rápidas (coisas que costumam cair em prova)
- O sistema
é memoryless (sem memória): a saída em depende apenas de . - O sistema é não linear: a superposição falha. Por exemplo, com
e , Mesmo sendo não linear, o conceito de BIBO aplica-se e o sistema pode ser BIBO estável — que é o caso aqui.
Resposta
Estável no sentido BIBO.