Determine se o sistema é estável ou não-estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output):
y(t)=x^{2}(t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema dado por
y(t)=x^{2}(t)
é estável ou não no sentido BIBO (bounded input / bounded output).
Informações fornecidas:
  • A descrição do sistema é a relação entre entrada e saída: \,x(t)\mapsto y(t)=x^{2}(t)\,.
  • Não há outras restrições de tempo, linearidade ou causalidade no enunciado.
O que é pedido:
  • Decidir se, para toda entrada limitada (bounded) \,x(t)\,, a saída \,y(t)\, também permanece limitada por alguma constante finita.

Passo 2

Definição exata de estabilidade BIBO (explicada devagarinho).
  • Dizemos que uma sinal/ sistema é BIBO estável se a seguinte condição vale:
    • Para todo sinal de entrada \,x(t)\, que seja limitado, ou seja, se existir uma constante finita \,M_x tal que |x(t)| \le M_x\quad\text{para todo }t,então a saída \,y(t)\, também é limitada: existe uma constante finita \,M_y tal que |y(t)| \le M_y\quad\text{para todo }t.
  • Observação importante: o valor \,M_y pode depender de \,M_x, isso é permitido. O que importa é que \,M_y seja finito para qualquer \,M_x finito.

Passo 3

Manipulação algébrica da saída (propriedade de módulo).
  • Calculemos o valor absoluto da saída em função do valor absoluto da entrada: |y(t)| = |x^{2}(t)| = \bigl|x(t)\bigr|^{2}.
  • Aqui usei a propriedade básica de módulos: |a^{2}| = |a|^{2} para qualquer número real (ou complexo).

Passo 4

Aplicando a hipótese de entrada limitada e obtendo um limite para a saída.
  • Suponha que a entrada seja limitada: existe \,M_x<\infty tal que |x(t)|\le M_x para todo t.
  • Então, a partir de |y(t)|=\bigl|x(t)\bigr|^{2} temos, para todo t, |y(t)| = \bigl|x(t)\bigr|^{2} \le M_x^{2}.
  • Logo, podemos escolher \,M_y=M_x^{2}, que é uma constante finita, independente de t, e que limita |y(t)| para todo t.

Passo 5

Interpretação e conclusão lógica (sem a palavra final técnica ainda).
  • Demonstrou-se formalmente que: se a entrada é limitada por uma constante finita \,M_x, então a saída é limitada por \,M_x^{2}, também finita.
  • Isso satisfaz exatamente a condição da definição de BIBO: para qualquer entrada limitada existe uma constante finita que limita a saída.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia (para usar na prova e memorizar).
  • Exemplo 1: \,x(t)=\sin(t). Tem |x(t)|\le 1. Então |y(t)|=|\sin^{2}(t)|\le 1. Saída limitada por 1.
  • Exemplo 2: \,x(t)=3\cos(t). Tem |x(t)|\le 3. Então |y(t)|\le 9. Saída limitada por 9.
  • Contraexemplo de entrada não limitada (só para comparar): se x(t)=t (não limitada), então y(t)=t^{2} também não é limitada. Isso não contradiz a estabilidade BIBO, porque a hipótese BIBO exige que a entrada seja limitada.

Passo 7

Observações pedagógicas rápidas (coisas que costumam cair em prova)
  • O sistema \,y(t)=x^{2}(t)\, é memoryless (sem memória): a saída em t depende apenas de x(t).
  • O sistema é não linear: a superposição falha. Por exemplo, com x_1(t)=1 e x_2(t)=1, y(x_1+x_2)= (1+1)^{2}=4 \neq y(x_1)+y(x_2)=1^{2}+1^{2}=2.Mesmo sendo não linear, o conceito de BIBO aplica-se e o sistema pode ser BIBO estável — que é o caso aqui.

Resposta

Estável no sentido BIBO.

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