Determine se o sistema é observável.
dotx=A x+B u=[ccc -2 & -1 & -3 0 & -2 & 1 -7 & -8 & -9 ] x+[l 2 1 2 ] u y=C x=[lll 4 & 6 & 8 ] x

Passo 1

Beleza, a questão é: “Determine se o sistema
dot x = A x + B,u, y = C x
com
A=-2 & -1 & -30 & -2 & 1-7 & -8 & -9,; C=4 & 6 & 8
é observável.”
Conteúdo: observabilidade de sistemas lineares. Preciso usar a matriz de observabilidade
O = CC AC A^2
e checar se ela tem posto 3.

Passo 2

Primeiro vamos montar a matriz de observabilidade. Já temos
C = l[4;;6;;8r]
Agora calculamos
C A = [4;6;8];-2 & -1 & -30 & -2 & 1-7 & -8 & -9
Multiplicando linha por coluna:
  • Primeiro elemento: C A = l[-64;;-80;;-78r] .
  • Segundo: .
  • Terceiro: .
    Logo

Passo 3

Agora precisamos de C A^2 = [-64;-80;-78]; -2 & -1 & -30 & -2 & 1-7 & -8 & -9 . Em vez de achar C A^2 = l[674;;848;;814r] explicitamente, fazemos :
Calculando cada entrada:
  • Primeiro:
  • Segundo:
  • Terceiro:
    Então

Passo 4

A matriz de observabilidade é
O = 4 & 6 & 8 -64 & -80 & -78 674 & 848 & 814
Para o sistema ser observável, det( O) =4cdot-80 & -78848 & 814 -6cdot-64 & -78674 & 814 +8cdot-64 & -80674 & 848 precisa ter posto igual a 3 (ou seja, determinante ≠ 0). Vamos calcular o determinante:
-80 & -78848 & 814 =-80cdot814 -(-78)cdot848 = -65120 +66144 =1024,
Cada menor dá:
-64 & -78674 & 814 =-64cdot814 -(-78)cdot674 = -52096 +52572 =476,
-64 & -80674 & 848 =-64cdot848 -(-80)cdot674 = -54272 +53920 = -352
det( O) =4cdot1024 ;-;6cdot476;+;8cdot(-352) =4096 -2856 -2816 = -1576neq0
Então
Determinante não zero ⇒ posto 3.

Resposta

O sistema é observável (posto da matriz de observabilidade = 3).

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