Determine se o sistema é SI ou SP
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 3 x-z-y=12 \\\\ 4 x+y-2 z=-12 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se o sistema linear abaixo é SI (sistema impossível) ou SP (sistema possível — neste contexto significa que tem solução única).
As equações dadas são:
\begin{cases} x+y+z=6\\[4pt] 3x - y - z =12\\[4pt] 4x + y -2z = -12 \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{coeficientes: } \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1\\[4pt] 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \quad\text{e vetores constantes } \begin{pmatrix}6\\[4pt]12\\[4pt]-12\end{pmatrix}.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método usado): para verificar se um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas tem solução única, uma maneira rápida é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (ou seja, é SP). Se o determinante for zero, pode ser sistema indeterminado ou impossível (precisaria analisar postos/compatibilidade). Vou então calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
O determinante de uma matriz 3\times3
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
pode ser calculado por expansão pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\[4pt]a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\[4pt]a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[4pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Aqui cada \det pequeno é um determinante de 2\times2, cuja fórmula é
\det\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} = p s - q r.]

Passo 3

Escrevo a matriz dos coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1\\[4pt] 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo \det(A) pela expansão pela primeira linha, aplicando a fórmula do passo anterior.
Primeiro menor (removendo primeira linha e primeira coluna):
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} = (-1)\cdot(-2) - (-1)\cdot 1 = 2 - (-1) = 3.
Segundo menor (removendo primeira linha e segunda coluna):
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix} = 3\cdot(-2) - (-1)\cdot 4 = -6 - (-4) = -2.
Terceiro menor (removendo primeira linha e terceira coluna):
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 4 = 3 - (-4) = 7.
Agora uso a expansão:
\det(A)=1\cdot 3 - 1\cdot(-2) + 1\cdot 7.
Calculo passo a passo:
1\cdot 3 = 3,\quad -1\cdot(-2)=2,\quad 1\cdot 7=7.
Somando:
\det(A)=3+2+7=12.]

Passo 5

Como \det(A)=12\neq 0, a matriz dos coeficientes é invertível. Logo o sistema tem exatamente uma solução: é um sistema possível e determinado (SP). Dica rápida para a prova: ao ver um 3\times3, calcule o determinante — se for não nulo, encerra a questão de classificação imediatamente.

Resposta

SP

Exercícios relacionados