O enunciado pede que eu determine se o sistema linear abaixo é SI (sistema impossível) ou SP (sistema possível — neste contexto significa que tem solução única).
As equações dadas são:
\begin{cases} x+y+z=6\\[4pt] 3x - y - z =12\\[4pt] 4x + y -2z = -12 \end{cases}
Estratégia (explicação didática do método usado): para verificar se um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas tem solução única, uma maneira rápida é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (ou seja, é SP). Se o determinante for zero, pode ser sistema indeterminado ou impossível (precisaria analisar postos/compatibilidade). Vou então calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Como \det(A)=12\neq 0, a matriz dos coeficientes é invertível. Logo o sistema tem exatamente uma solução: é um sistema possível e determinado (SP). Dica rápida para a prova: ao ver um 3\times3, calcule o determinante — se for não nulo, encerra a questão de classificação imediatamente.