a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W.
b) Determine uma base \alpha e a dimensão de W.
c) Determine se os vetores \mathbf{v}=(1,2,2,1), \mathbf{w}=(2,1,1,-2) pertencem a W.
d) Determine se o conjunto \beta=\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

Enunciado e informações fornecidas (organizado para não me perder):
  • (a) Pede: “Defina base e dimensão de espaço vetorial.”
  • Foi dado um subespaço vetorial não trivial chamado W, mas o enunciado NÃO fornece a descrição explícita de W (nenhuma equação, nem geradores, nem um conjunto de vetores que o geram).
  • (b) Pede: “Determine uma base \alpha e a dimensão de W.” — para responder preciso da descrição de W.
  • (c) Pede: “Determine se os vetores \mathbf{v}=(1,2,2,1), \mathbf{w}=(2,1,1,-2) pertencem a W.” — para responder preciso conhecer W. Nota: os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} estão totalmente especificados no enunciado.
  • (d) Pede: “Determine se o conjunto \beta=\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.” — depende de saber se \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e da dimensão de W.
  • (e) Pede: “Calcule o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.” — isto depende só de \mathbf{v} e \mathbf{w}, portanto posso calcular sem conhecer W.
Observação essencial: sem a descrição explícita de W (por exemplo, suas equações ou um conjunto gerador), NÃO é possível determinar explicitamente em (b) uma base de W nem afirmar em (c) se \mathbf{v} e \mathbf{w} pertencem a W. Vou, então:
  • responder (a) com definições didáticas;
  • explicar passo a passo como procederia para (b) e (c) caso W fosse dada;
  • resolver (d) parcialmente usando propriedades que podemos verificar independentemente de W (por exemplo, linear independência de \mathbf{v} e \mathbf{w});
  • resolver (e) numericamente e com explicação passo a passo.

Passo 2

(a) Definições didáticas (vamos com calma, como se eu estivesse te explicando numa conversa):
  • Definição de base: uma coleção de vetores \{ \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\dots,\mathbf{u}_k\} de um espaço vetorial V é uma base de V se duas condições forem satisfeitas simultaneamente:
    1. Os vetores geram V: todo vetor \mathbf{x}\in V pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, isto é, existem escalares c_1,\dots,c_k tais que \mathbf{x}=c_1\mathbf{u}_1+\cdots+c_k\mathbf{u}_k. Dizemos que o conjunto “gera” ou “span” V.
    2. Os vetores são linearmente independentes: a única solução para a_1\mathbf{u}_1+\cdots+a_k\mathbf{u}_k=\mathbf{0} é a_1=\cdots=a_k=0.
      Intuição: uma base é um conjunto mínimo (sem redundância) que consegue descrever todo o espaço.
  • Definição de dimensão: a dimensão de um espaço vetorial V, denotada \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm a mesma quantidade de vetores, portanto \dim(V) é bem definida.
    Exemplo simples: \mathbb{R}^2 tem dimensão 2; uma base comum é \{(1,0),(0,1)\}. Em \mathbb{R}^3 a dimensão é 3.
Explicando como verificar as duas condições na prática (dica prática para prova):
  • Para testar geração: tente escrever um vetor qualquer como combinação linear dos candidatos; isso vira um sistema linear onde os coeficientes são incógnitas.
  • Para testar independência linear: monte a combinação linear igual a zero e resolva; na prática usa-se eliminação de Gauss (reduzir a uma forma escalonada) para ver se só a solução trivial aparece.

Passo 3

(b) Como determinar uma base \alpha e \dim(W) — método passo a passo (procedimento que você deve aplicar na prova), e por que eu não consigo dar \alpha aqui:
  • Caso A: se W for dado como o span de vetores, por exemplo W=\operatorname{span}\{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m\}, então o procedimento é:
    1. Coloque os vetores \mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_m como colunas (ou linhas) de uma matriz.
    2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para obter colunas (ou linhas) pivô.
    3. As colunas correspondentes aos pivôs formam uma base (um subconjunto independente que gera W).
    4. A dimensão \dim(W) é o número de pivôs (número de vetores dessa base).
      Ex.: se W=\operatorname{span}\{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)\}, você monta a matriz 3\times3 com essas colunas, reduz e escolhe colunas independentes.
  • Caso B: se W for dado por equações lineares (por exemplo, W=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}), então W é o espaço solução de um sistema homogêneo:
    1. Resolva A\mathbf{x}=\mathbf{0} por eliminação de Gauss.
    2. Exprime as incógnitas livres em função dos parâmetros; os vetores que multipliquem esses parâmetros dão uma base do espaço solução.
    3. A dimensão é o número de parâmetros livres (ou n- posto (A)).
      Ex.: solução do sistema dá vetores que formam a base do espaço nulo.
Comentário final sobre (b) aqui: como NÃO foi dada a descrição de W no enunciado que você me passou, NÃO posso fornecer explicitamente uma base \alpha nem o valor numérico de \dim(W). Se você me mandar a descrição de W (uma lista de generadores ou as equações definidoras), eu aplico esses passos e te devolvo a base e a dimensão, com todas as contas detalhadas.

Passo 4

(c) Como testar se \mathbf{v}=(1,2,2,1) e \mathbf{w}=(2,1,1,-2) pertencem a W — método e limitação no caso atual:
  • Método 1 (se W tem base conhecida \{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\}): tente escrever \mathbf{v} como combinação linear \mathbf{v}=c_1\mathbf{u}_1+\cdots+c_k\mathbf{u}_k. Se o sistema tiver solução, \mathbf{v}\in W. Mesmo para \mathbf{w}.
  • Método 2 (se W é definido por equações A\mathbf{x}=\mathbf{0}): basta verificar se A\mathbf{v}=\mathbf{0} (e A\mathbf{w}=\mathbf{0}).
  • Observação prática: essas verificações são apenas resolver sistemas lineares — trabalho mecânico de eliminação.
Conclusão para (c): COMO o enunciado não descreve W, NÃO é possível afirmar se \mathbf{v} e \mathbf{w} pertencem a W. Se você colar aqui a descrição de W, eu faço a verificação passo a passo.

Passo 5

(d) Determinar se [\beta={\mathbf{v},\mathbf{w}}) é uma base ou pode ser parte de uma base de W. Vou primeiro analisar independência linear de \mathbf{v} e \mathbf{w} (isso posso fazer sem conhecer W), depois explicar as condições relativas a W.
  1. Teste de independência linear de \mathbf{v} e \mathbf{w}: queremos saber se existem escalares a,b não ambos nulos tais que a\mathbf{v}+b\mathbf{w}=\mathbf{0}. Escrevemos o sistema coordenada a coordenada:
a(1)+b(2)=0,
a(2)+b(1)=0,
a(2)+b(1)=0,
a(1)+b(-2)=0.
Escrevendo em forma mais compacta:
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 2a+b=0,\\[4pt] 2a+b=0,\\[4pt] a-2b=0. \end{cases}
Das duas equações centrais obtemos a mesma equação 2a+b=0\]. Resolva as equações mais simples: da primeira \(a=-2b. Da última a=2b. Igualando:
-2b=2b \Rightarrow 4b=0 \Rightarrow b=0.
Então a=0 também. Logo a única solução é a=b=0, o que mostra que \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes.
  1. Consequências para a afirmação sobre \beta ser base de W:
  • Para que \beta seja uma base de W é preciso que (i) \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e (ii) \beta gere W. Como \beta tem dois vetores, isso só é possível se \dim(W)=2 e \beta\subset W. Portanto, condição necessária e suficiente para \beta ser base de W: \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e \dim(W)=2.
  • Mesmo que \dim(W)>2, \beta pode ser parte de uma base de W desde que \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e permaneçam independentes quando considerados no contexto de W (o que é verdade pois já vimos que são independentes em \mathbb{R}^4). Nesse caso, você pode estender \beta a uma base de W adicionando vetores de W que sejam independentes das combinações já existentes (procedimento padrão: complemento por vetores até atingir \dim(W)).
  • Se algum de \mathbf{v} ou \mathbf{w} NÃO pertencer a W, então \beta não pode ser uma base de W nem pode ser parte de uma base de W.
Conclusão prática para (d): sem conhecer W não posso afirmar se \beta é base de W. Posso, porém, afirmar com certeza que \beta é um conjunto de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Portanto:
  • Se \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e \dim(W)=2 então \beta é uma base de W.
  • Se \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e \dim(W)>2, então \beta não gera W mas pode ser extendida para uma base de W.
  • Se algum dos vetores não está em W, então \beta não pode ser base nem parte de base de W.]

Passo 6

(e) Cálculo do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w} (tudo passo a passo, sem pular contas):
  • Fórmula: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} é dado por
\cos(\theta)=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|},
onde \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é o produto interno (produto escalar) e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}} é a norma.
  • Primeiro calculemos o produto interno \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot(-2)=2+2+2-2=4.
  • Agora as normas:
\|\mathbf{v}\|^2 = 1^2+2^2+2^2+1^2 = 1+4+4+1 = 10 \quad\Rightarrow\quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{10}.
\|\mathbf{w}\|^2 = 2^2+1^2+1^2+(-2)^2 = 4+1+1+4 = 10 \quad\Rightarrow\quad \|\mathbf{w}\|=\sqrt{10}.
  • Portanto
\cos(\theta)=\frac{4}{\sqrt{10}\,\sqrt{10}}=\frac{4}{10}=0{,}4.
  • Logo
\theta=\operatorname{arccos}(0{,}4).
Usando a conversão para graus (e uma calculadora ou tabela de arcos), obtemos
\theta\approx 66{,}4^\circ
(arredondado para uma casa decimal).

Resposta

(a) Base: um conjunto \{ \mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\} é base de um espaço vetorial V se gera V e é linearmente independente. Dimensão: \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim(W) porque o enunciado não fornece a descrição explícita de W.
(c) Não é possível afirmar se \mathbf{v} e \mathbf{w} pertencem a W sem a descrição de W.
(d) \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} é um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^4. Consequências para W: se \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e \dim(W)=2, então \beta é uma base de W; se \mathbf{v},\mathbf{w}\in W e \dim(W)>2, então \beta não gera W mas pode ser estendida a uma base de W; se algum dos vetores não pertence a W, então \beta não é base nem pode ser parte de base de W.
(e) \theta\approx 66{,}4^\circ.

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