a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
b) S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-t=0\right. e \left.y-z=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}
c) U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-t=0\right. ou \left.y-z=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}
d) T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}| | x|+|y|+|z|=0\} \subset \mathbb{R}^{3}\right.
e) V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}-y^{2}-z^{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir o que é um subespaço vetorial.
  • (b) Determinar se S=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-t=0\text{ e }y-z=0\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
  • (c) Determinar se U=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-t=0\text{ ou }y-z=0\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
  • (d) Determinar se T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid |x|+|y|+|z|=0\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
  • (e) Determinar se V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y^{2}-z^{2}=0\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: cada item fornece uma descrição por equações (iguais ou valor absoluto) de um subconjunto dos respectivos \mathbb{R}^{n}. Não há figuras nem outros dados.

Passo 2

Definição didática (resposta a (a)): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades essenciais:
  1. W contém o vetor nulo: \mathbf{0}\in W.
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \mathbf{u}\in W e qualquer \lambda\in\mathbb{R} tem-se \lambda\mathbf{u}\in W.
Explicação de por que essas três são suficientes: um subespaço é um espaço vetorial por si mesmo (mesmas operações de \mathbb{R}^{n}), então precisa ter o neutro (o vetor zero), fechar-se sob soma (porque em um espaço vetorial somas de vetores do espaço permanecem no espaço) e fechar-se sob escalares (mesma razão). Na prática de prova é comum: (i) mostrar que \mathbf{0}\in W; (ii) pegar vetores genéricos de W e verificar que soma e escalares permanecem verificando as equações que definem W. Para provar que algo NÃO é subespaço, basta encontrar uma falha: um vetor nulo ausente, ou dois vetores cuja soma não pertence, ou um vetor cujo múltiplo por escalar não pertence.
Dica prática rápida: se a definição do conjunto é dada por equações lineares homogêneas (tipo combinações lineares iguais a zero), frequentemente é subespaço; se envolve condições “ou”, máximos, produtos não lineares, valores absolutos somados igual a constante não-zero, etc., pode não ser.

Passo 3

Antes de entrar em cada conjunto, explicar a técnica que será usada:
  • Para mostrar que um conjunto W é subespaço: (A) mostrar \mathbf{0}\in W; (B) assumir \mathbf{u},\mathbf{v}\in W com coordenadas simbólicas e provar \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W manipulando as equações; (C) assumir \mathbf{u}\in W e \lambda\in\mathbb{R} e provar \lambda\mathbf{u}\in W.
  • Para mostrar que não é subespaço: encontrar um contraexemplo explícito (por exemplo, vetores em W cuja soma sai de W, ou um vetor e um escalar tal que o múltiplo sai de W). Um contraexemplo é suficiente.
Agora aplicar passo a passo em cada item.

Passo 4

Dados: S=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-t=0\\ \text{e}\\ y-z=0\right\}.
  1. Verificar \mathbf{0}\in S. O vetor nulo em \mathbb{R}^{4} é \mathbf{0}=(0,0,0,0). Substituindo nas equações:
x-t=0-0=0,\qquad y-z=0-0=0,
logo \mathbf{0}\in S.
  1. Fechamento sob soma. Seja \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in S e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})\in S. Por hipótese:
x_{1}-t_{1}=0,\qquad y_{1}-z_{1}=0,
x_{2}-t_{2}=0,\qquad y_{2}-z_{2}=0.
Considere \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2},\,t_{1}+t_{2}). Então
(x_{1}+x_{2})-(t_{1}+t_{2})=(x_{1}-t_{1})+(x_{2}-t_{2})=0+0=0,
(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(y_{1}-z_{1})+(y_{2}-z_{2})=0+0=0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  1. Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in S. Então
\lambda\mathbf{u}=(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1},\lambda t_{1}),
e
\lambda x_{1}-\lambda t_{1}=\lambda(x_{1}-t_{1})=\lambda\cdot 0=0,
\lambda y_{1}-\lambda z_{1}=\lambda(y_{1}-z_{1})=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda\mathbf{u}\in S.
Conclusão: S satisfaz as três propriedades, portanto S é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Observação adicional pedagógica: escrevendo vetores de S usando as igualdades x=t e y=z, qualquer vetor em S tem a forma
(x,y,y,x)=x(1,0,0,1)+y(0,1,1,0),
mostrando que S é o subespaço gerado por os vetores (1,0,0,1) e (0,1,1,0), portanto \dim(S)=2.

Passo 5

Dados: U=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-t=0\\ \text{ou}\\ y-z=0\right\}. A palavra “ou” aqui é inclusiva: o vetor pertence a U se satisfaz pelo menos uma das duas equações.
  1. Verificar \mathbf{0}\in U. Como visto, \mathbf{0}=(0,0,0,0) satisfaz ambas as equações, então \mathbf{0}\in U.
  2. Testar fechamento sob soma com um contraexemplo. A estratégia é escolher \mathbf{u}\in U que satisfaz apenas a primeira condição e \mathbf{v}\in U que satisfaz apenas a segunda condição; a soma pode falhar em satisfazer qualquer uma das condições.
Escolher explicitamente:
\mathbf{u}=(1,1,0,1).
Verificação: x-t=1-1=0 (primeira condição verdadeira) e y-z=1-0=1\neq 0 (segunda condição falsa). Logo \mathbf{u}\in U.
Escolher
\mathbf{v}=(0,2,2,1).
Verificação: y-z=2-2=0 (segunda condição verdadeira) e x-t=0-1=-1\neq 0 (primeira condição falsa). Logo \mathbf{v}\in U.
Somando:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1+0,\,1+2,\,0+2,\,1+1)=(1,3,2,2).
Verificar as condições para a soma:
x-t=1-2=-1\neq 0,\qquad y-z=3-2=1\neq 0.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin U.
Como foi encontrado um par de vetores em U cuja soma não pertence a U, conclui-se que U não é fechado sob soma e, portanto, U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Comentário: conjuntos definidos por uma condição “ou” (união de dois subconjuntos que são subespaços) normalmente não são subespaços, a menos que uma das partes esteja contida na outra.

Passo 6

Dados: T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid |x|+|y|+|z|=0\right\}.
Análise: para quaisquer números reais |x|\ge 0, |y|\ge 0, |z|\ge 0. A soma de três valores não-negativos só é igual a zero se cada termo é zero separadamente. Portanto a condição |x|+|y|+|z|=0 implica
|x|=0,\qquad |y|=0,\qquad |z|=0,
o que implica
x=0,\qquad y=0,\qquad z=0.
Logo T=\{\mathbf{0}\}, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo.
Verificar propriedades para o subespaço trivial \{\mathbf{0}\}:
  • Contém o vetor zero por definição.
  • Soma de quaisquer dois vetores em \{\mathbf{0}\} é \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}\in\{\mathbf{0}\}.
  • Multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\mathbf{0}=\mathbf{0}\in\{\mathbf{0}\}.
Conclusão: T é subespaço de \mathbb{R}^{3} (é o subespaço trivial).

Passo 7

Dados: V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y^{2}-z^{2}=0\right\}.
  1. Verificar \mathbf{0}\in V. Para \mathbf{0}=(0,0,0) tem-se 0^{2}-0^{2}-0^{2}=0, então \mathbf{0}\in V.
  2. Testar fechamento sob multiplicação por escalar (observação útil). Se \mathbf{u}=(x,y,z)\in V, então x^{2}-y^{2}-z^{2}=0. Para \lambda\in\mathbb{R},
(\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}-(\lambda z)^{2}=\lambda^{2}(x^{2}-y^{2}-z^{2})=\lambda^{2}\cdot 0=0.
Portanto \lambda\mathbf{u}\in V para todo \lambda. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar (isso acontece porque a equação é homogênea de grau 2).
  1. Testar fechamento sob soma com um contraexemplo. Escolher vetores satisfazendo a equação individualmente, mas cuja soma não satisfaz.
Tomar
\mathbf{u}=(1,1,0).
Verificação: 1^{2}-1^{2}-0^{2}=1-1-0=0, logo \mathbf{u}\in V.
Tomar
\mathbf{w}=(1,-1,0).
Verificação: 1^{2}-(-1)^{2}-0^{2}=1-1-0=0, logo \mathbf{w}\in V.
Somando:
\mathbf{u}+\mathbf{w}=(1+1,\,1+(-1),\,0+0)=(2,0,0).
Verificar a equação para a soma:
2^{2}-0^{2}-0^{2}=4-0-0=4\neq 0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{w}\notin V.
Como não há fechamento sob soma, conclui-se que V não é subespaço de \mathbb{R}^{3}, apesar de ser fechado sob escalares.
Comentário adicional: a equação x^{2}-y^{2}-z^{2}=0 define uma superfície quadrática (cone duplo) que não é fechada por soma de pontos, por isso não é subespaço.

Resposta

(a) Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se, e somente se, \mathbf{0}\in W, \mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W e \lambda\in\mathbb{R},\\ \mathbf{u}\in W\Rightarrow \lambda\mathbf{u}\in W.
(b) S é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
(c) U não é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
(d) T é subespaço de \mathbb{R}^{3} (na verdade T=\{\mathbf{0}\}).
(e) V não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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