a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
b)
e
c)
ou
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) Definir o que é um subespaço vetorial.
- (b) Determinar se
é subespaço de . - (c) Determinar se
é subespaço de . - (d) Determinar se
é subespaço de . - (e) Determinar se
é subespaço de .
Informações dadas: cada item fornece uma descrição por equações (iguais ou valor absoluto) de um subconjunto dos respectivos
. Não há figuras nem outros dados.
Passo 2
Definição didática (resposta a (a)): um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades essenciais:
-
contém o vetor nulo: . -
é fechado sob soma: para quaisquer tem-se . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer tem-se .
Explicação de por que essas três são suficientes: um subespaço é um espaço vetorial por si mesmo (mesmas operações de
), então precisa ter o neutro (o vetor zero), fechar-se sob soma (porque em um espaço vetorial somas de vetores do espaço permanecem no espaço) e fechar-se sob escalares (mesma razão). Na prática de prova é comum: (i) mostrar que
; (ii) pegar vetores genéricos de
e verificar que soma e escalares permanecem verificando as equações que definem
. Para provar que algo NÃO é subespaço, basta encontrar uma falha: um vetor nulo ausente, ou dois vetores cuja soma não pertence, ou um vetor cujo múltiplo por escalar não pertence.
Dica prática rápida: se a definição do conjunto é dada por equações lineares homogêneas (tipo combinações lineares iguais a zero), frequentemente é subespaço; se envolve condições “ou”, máximos, produtos não lineares, valores absolutos somados igual a constante não-zero, etc., pode não ser.
Passo 3
Antes de entrar em cada conjunto, explicar a técnica que será usada:
- Para mostrar que um conjunto
é subespaço: (A) mostrar ; (B) assumir com coordenadas simbólicas e provar manipulando as equações; (C) assumir e e provar . - Para mostrar que não é subespaço: encontrar um contraexemplo explícito (por exemplo, vetores em
cuja soma sai de , ou um vetor e um escalar tal que o múltiplo sai de ). Um contraexemplo é suficiente.
Agora aplicar passo a passo em cada item.
Passo 4
Dados:
.
- Verificar
. O vetor nulo em é . Substituindo nas equações:
logo
.
- Fechamento sob soma. Seja
e . Por hipótese:
Considere
. Então
Logo
.
- Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e . Então
e
Logo
.
Conclusão:
satisfaz as três propriedades, portanto
é subespaço de
.
Observação adicional pedagógica: escrevendo vetores de
usando as igualdades
e
, qualquer vetor em
tem a forma
mostrando que
é o subespaço gerado por os vetores
e
, portanto
.
Passo 5
Dados:
. A palavra “ou” aqui é inclusiva: o vetor pertence a
se satisfaz pelo menos uma das duas equações.
-
Verificar
. Como visto, satisfaz ambas as equações, então . -
Testar fechamento sob soma com um contraexemplo. A estratégia é escolher
que satisfaz apenas a primeira condição e que satisfaz apenas a segunda condição; a soma pode falhar em satisfazer qualquer uma das condições.
Escolher explicitamente:
Verificação:
(primeira condição verdadeira) e
(segunda condição falsa). Logo
.
Escolher
Verificação:
(segunda condição verdadeira) e
(primeira condição falsa). Logo
.
Somando:
Verificar as condições para a soma:
Portanto
.
Como foi encontrado um par de vetores em
cuja soma não pertence a
, conclui-se que
não é fechado sob soma e, portanto,
não é subespaço de
.
Comentário: conjuntos definidos por uma condição “ou” (união de dois subconjuntos que são subespaços) normalmente não são subespaços, a menos que uma das partes esteja contida na outra.
Passo 6
Dados:
.
Análise: para quaisquer números reais
,
,
. A soma de três valores não-negativos só é igual a zero se cada termo é zero separadamente. Portanto a condição
implica
o que implica
Logo
, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo.
Verificar propriedades para o subespaço trivial
:
- Contém o vetor zero por definição.
- Soma de quaisquer dois vetores em
é . - Multiplicação por escalar: para qualquer
, .
Conclusão:
é subespaço de
(é o subespaço trivial).
Passo 7
Dados:
.
-
Verificar
. Para tem-se , então . -
Testar fechamento sob multiplicação por escalar (observação útil). Se
, então . Para ,
Portanto
para todo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar (isso acontece porque a equação é homogênea de grau 2).
- Testar fechamento sob soma com um contraexemplo. Escolher vetores satisfazendo a equação individualmente, mas cuja soma não satisfaz.
Tomar
Verificação:
, logo
.
Tomar
Verificação:
, logo
.
Somando:
Verificar a equação para a soma:
Logo
.
Como não há fechamento sob soma, conclui-se que
não é subespaço de
, apesar de ser fechado sob escalares.
Comentário adicional: a equação
define uma superfície quadrática (cone duplo) que não é fechada por soma de pontos, por isso não é subespaço.
Resposta
(a) Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se,
,
e
.
(b) é subespaço de
.
(c) não é subespaço de
.
(d) é subespaço de
(na verdade
).
(e) não é subespaço de
.
(b)
(c)
(d)
(e)