Determine se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o sistema possui zeros e, se sim, quais são os seus valores.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — o sistema em questão não foi apresentado (não há equações, nem matriz, nem função, nem diagrama).
Portanto, com os dados atuais não há como calcular zeros específicos. Vou, no entanto, explicar didaticamente o que são “zeros” em diferentes contextos e mostrar passo a passo como encontrá‑los em cada caso típico, para que você saiba o que fazer na prova quando receber o sistema.

Passo 2

Zero de uma função (caso mais simples).
Definição: dado um escalar x e uma função f, um zero (ou raiz) é um valor \hat{x} tal que
f(\hat{x})=0.
Métodos básicos para encontrar zeros de funções polinomiais e exemplos:
  • Fatoração direta: se f(x) é um polinômio e fatorável em fatores lineares, escreva
f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),
então os zeros são r_1,r_2,\dots,r_n.
Exemplo prático passo a passo: encontre zeros de f(x)=x^2-5x+6.
  1. Tentar fatorar: procurar dois números cuja soma é -5 e cujo produto é 6. Esses números são -2 e -3.
  2. Então
f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
  1. Zeros: resolver (x-2)=0 e (x-3)=0 x=2 e x=3.
  • Fórmula quadrática (quando não factoriza fácil): para f(x)=ax^2+bx+c,
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a,b,c são os coeficientes do polinômio.
  • Métodos numéricos (quando não há fórmula simples): Newton–Raphson: iterar
x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}
até convergir; útil em prova só se pedirem procedimento ou uma iteração.

Passo 3

Zeros de um sistema de equações algébricas (raízes simultâneas).
Definição: dado um sistema de n\) equações em \(n\) incógnitas \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\), \[\begin{cases} g_1(x_1,\dots,x_n)=0,\\[4pt] \vdots\\[4pt] g_n(x_1,\dots,x_n)=0, \end{cases}
um zero do sistema é um vetor \hat{\mathbf{x}}\] que satisfaz todas as equações simultaneamente. Métodos básicos: - Sistema linear \[\,A\mathbf{x}=\mathbf{b}: os “zeros” do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} são os vetores do núcleo de A. Use eliminação de Gauss para resolver ou calcule \operatorname{rank}(A) e base do núcleo.
Exemplo prático passo a passo (linear simples): resolver
\begin{cases} x+y=3,\\[4pt] x-y=1. \end{cases}
  1. Somar as duas equações: 2x=4\Rightarrow x=2\]. 2. Substituir em \(x+y=3\Rightarrow 2+y=3\Rightarrow y=1.
    3. Solução (zero do sistema) é (2,1).
    - Sistema não linear: tente substituição, eliminação, ou use métodos numéricos (Newton multidimensional) em provas normalmente pede manipulação algébrica para chegar às soluções.]

Passo 4

Zeros (pontos de equilíbrio) de um sistema dinâmico autônomo.
Se o sistema dinâmico é \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}) com \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, os zeros do campo vetorial (pontos de equilíbrio) são as soluções de
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}.
Procedimento: escreva as componentes f_i(\mathbf{x}), resolva o sistema f_i(\mathbf{x})=0.
Exemplo prático passo a passo (unidimensional): \dot{x}=x(1-x).
  1. Colocar \dot{x}=0\Rightarrow x(1-x)=0.
  2. Solve: x=0 ou x=1. Esses são os pontos de equilíbrio (zeros do vetor campo).
    Para sistemas em dimensão maior, segue-se o mesmo princípio (resolver as equações simultâneas).

Passo 5

Zeros de uma função de transferência (controle/engenharia).
Se um sistema LTI tem função de transferência
G(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)},
com N(s) e D(s) polinômios em s, então os zeros (zeros de transmissão) são as raízes do numerador:
N(s)=0.
Procedimento: encontre as raízes do polinômio N(s) (fatoração, fórmula, métodos numéricos). Zeros influenciam resposta em frequência e cancelamento de polos.
Se o sistema estiver dado em espaço de estados (A,B,C,D) e pedirem zeros de transmissão, o cálculo é mais técnico (envolve a matriz de Rosenbrock); em provas básicas normalmente apresentam G(s) explícito ou exigem apenas as raízes de N(s).

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que fazer quando o enunciado vier completo):
  • Identifique que tipo de “sistema” é (uma função/polinômio, sistema algébrico, sistema dinâmico, ou função de transferência).
  • Aplique o método correspondente:
    • polinômio: fatorar / usar fórmula quadrática / Newton;
    • sistema linear: eliminação de Gauss / calcular núcleo de A;
    • sistema não linear: substituição, manipulação algébrica, ou métodos numéricos se apropriado;
    • sistema dinâmico: resolver \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0};
    • função de transferência: achar raízes de N(s).
  • Mostre todos os passos da algebra (fatorações, substituições, operações elementares). Nas provas de exatas o examinador valoriza a explicação do método tanto quanto o resultado.

Passo 7

Conclusão específica para este enunciado: com o texto fornecido não há como calcular zeros numéricos porque o sistema não foi dado (faltam equações, matriz ou função de transferência). Portanto não é possível apresentar valores concretos.

Resposta

Não é possível determinar: o enunciado não fornece o sistema (não há equações, nem matriz nem função) para calcular zeros concretos.

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