Plote a resposta ao degrau unitário para cada Função de Transferência (FT) dada. Em seguida, compare os gráficos, identificando quais FTs resultam em desempenho transitório semelhante (considerando \% \mathrm{UP}, \mathrm{t}_{\mathrm{s}}, \mathrm{t}_{\mathrm{p}} ). Por fim, explique as razões para essas semelhanças ou diferenças no desempenho.
a) T_{1}(s)=\frac{24,542}{\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}
b) T_{2}(s)=\frac{245,42}{(s+10)\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}
c) T_{3}(s)=\frac{73,626}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para cada função de transferência dada:
  • “Plote a resposta ao degrau unitário” para cada uma das FTs:
    a) T_{1}(s)=\dfrac{24,542}{\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}
    b) T_{2}(s)=\dfrac{245,42}{(s+10)\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}
    c) T_{3}(s)=\dfrac{73,626}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+24,542\right)}
  • “Compare os gráficos, identificando quais FTs resultam em desempenho transitório semelhante (considerando \%\mathrm{UP}, \mathrm{t}_{\mathrm{s}}, \mathrm{t}_{\mathrm{p}}).”
  • “Explique as razões para essas semelhanças ou diferenças no desempenho.”
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • As três FTs têm o mesmo polinômio quadrático no denominador: s^{2}+4s+24{,}542.
  • As FTs T_{2} e T_{3} têm, além desse par complexo conjugado, um polo real extra em s=-10 e s=-3, respectivamente.
  • Os numeradores foram escolhidos de modo que o ganho DC de cada FT é unitário (verificação direta mais adiante).
A partir daqui vou:
  • Explicar as fórmulas de resposta ao degrau para sistemas de segunda ordem e como extrair \%\mathrm{UP}, \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}}.
  • Calcular valores numéricos para cada sistema (quando necessário usando decomposição em frações parciais para os sistemas de ordem 3) e comparar os resultados.
  • Dar código (MATLAB/Python) para que você possa gerar os gráficos no seu computador e conferir visualmente.

Passo 2

Breve aula/intuitiva sobre resposta ao degrau e as quantidades pedidas (sem pular etapas).
  1. Polos complexos de segunda ordem e parâmetros:
  • Um sistema de segunda ordem típico (forma canônica) é \dfrac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}. Aqui:
    • \omega_n é a frequência natural não amortecida (rad/s).
    • \zeta é o coeficiente de amortecimento (damping ratio), que controla se o sistema oscila ( 0<\zeta<1) ou não.
  • Para o denominador \;s^{2}+4s+24{,}542\; podemos identificar: 2\zeta\omega_n = 4,\qquad \omega_n^{2}=24{,}542.
  1. Fórmulas úteis para um modo subamortecido ( 0<\zeta<1):
  • Frequência amortecida: \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}.
  • Tempo do primeiro pico (peak time): \mathrm{t}_{\mathrm{p}} = \frac{\pi}{\omega_d}.Observação: essa fórmula dá o instante do primeiro extremo associado ao modo oscilatório; em sistemas de ordem maior o instante pode ser deslocado um pouco, mas normalmente \mathrm{t}_{\mathrm{p}} é bem aproximado por essa expressão quando o par complexo domina.
  • Percentual de overshoot ( \%\mathrm{UP}, também chamado de percent overshoot): \%\mathrm{UP} = 100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.Esta expressão dá a amplitude percentual do pico máximo acima do valor final, quando o modo oscilatório domina.
  • Tempo de acomodação (settling time) para critério de 2\%: \mathrm{t}_{\mathrm{s}} \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}.Essa fórmula vem do decaimento exponencial da envoltória e^{-\zeta\omega_n t}; é uma regra empírica muito usada em controles.
  1. Efeito de polos adicionais:
  • Se houver um polo real adicional em s=-p:
    • Se p é grande (polo rápido, muito à esquerda), sua contribuição decai rapidamente e o par complexo geralmente domina o transiente: comportamento muito parecido ao da segunda ordem original.
    • Se p está relativamente próximo do parte real dos polos complexos dominantes, a contribuição desse polo pode alterar a amplitude das oscilações (mudando as constantes de modo) e até modificar sinais/alturas dos picos. O local dos polos complexos, porém, determina \omega_d e a taxa de decaimento da envoltória e^{-\zeta\omega_n t} (porque esses vêm do par quadrático); portanto \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}} tendem a ser similares enquanto o par complexo dominar.

Passo 3

Calculemos os parâmetros do par complexo (esses valores são comuns a todas as FTs porque o quadrático é igual em todas).
  1. Extração de \omega_n e \zeta:
\omega_n = \sqrt{24{,}542}\approx 4{,}954\qquad(\text{rad/s})
2\zeta\omega_n = 4 \quad\Rightarrow\quad \zeta = \frac{4}{2\omega_n}=\frac{4}{2\cdot 4{,}954}\approx 0{,}4036.
  1. Frequência amortecida \omega_d:
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}} \approx 4{,}954\cdot\sqrt{1-0{,}4036^{2}}\approx 4{,}533\\ \text{rad/s}.
  1. Tempo do pico teórico do modo:
\mathrm{t}_{\mathrm{p}}=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{\pi}{4{,}533}\approx 0{,}693\\ \text{s}.
  1. Percent overshoot teórico do modo:
\%\mathrm{UP}=100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} \approx 100\cdot e^{-1{,}385}\approx 25{,}03\%.
(Esse valor é o que o par complexo por si só produziria se fosse o único modo ativo.)
  1. Tempo de acomodação ( 2\%):
\mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}\approx\frac{4}{0{,}4036\cdot 4{,}954}\approx 2{,}00\\ \text{s}.
Resumo do par complexo (mesmo para as três FTs):
  • \omega_n\approx 4{,}954\\ \text{rad/s},
  • \zeta\approx 0{,}4036,
  • \omega_d\approx 4{,}533\\ \text{rad/s},
  • \mathrm{t}_{\mathrm{p}}\approx 0{,}693\\ \text{s} (baseado no par complexo),
  • \%\mathrm{UP} (do modo oscilatório) \approx 25{,}03\%,
  • \mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx 2{,}00\\ \text{s}.
Esses são valores “intrínsecos” do par complexo; agora precisamos ver como o terceiro polo (quando presente) altera as amplitudes reais da resposta ao degrau — ou seja, calcular os coeficientes (resíduos) para saber quanto cada modo contribui.

Passo 4

Análise por frações parciais e valores numéricos reais da resposta ao degrau para cada FT (eu mostro todas as contas passo a passo).
Primeiro, nota geral: a resposta ao degrau em Laplace é Y(s)=\dfrac{T(s)}{s}. Em frações parciais ela se escreve como soma do termo 1/s (ganho DC) mais termos exponenciais ou oscilatórios. Vou usar esse fato para extrair os coeficientes (resíduos) e avaliar a resposta no tempo t=\mathrm{t}_{\mathrm{p}} para comparar os picos reais.
A) Sistema T_{1}(s)=\dfrac{24{,}542}{s^{2}+4s+24{,}542}.
  1. Y_{1}(s)=\dfrac{24{,}542}{s\left(s^{2}+4s+24{,}542\right)}.
  2. Frações parciais simples: escrevemos
\dfrac{24{,}542}{s(s^{2}+4s+24{,}542)}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{C s + D}{s^{2}+4s+24{,}542},
porque o ganho DC T_1(0)=1 dá termo 1/s. Igualando numeradores e resolvendo obtemos C=-1 e D=-4 (detalhes algebricos: basta multiplicar ambos os lados e igualar coeficientes).
  1. Transformada inversa: o termo quadrático dá
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-s-4}{s^{2}+4s+24{,}542}\right\} = e^{-2t}\left[\cos(\omega_d t)+\frac{2}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right].
(foi reescrito usando s^{2}+4s+24{,}542=(s+2)^{2}+\omega_d^{2}.)
  1. Valor no tempo do pico t=\mathrm{t}_{\mathrm{p}} (onde \cos(\omega_d t)=-1, \sin(\omega_d t)=0):
y_{1}(\mathrm{t}_{\mathrm{p}})=1 + e^{-2\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}\cdot( +1 )
porque a combinação numérica dá contribuição positiva e^{-2\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}. Numericamente:
y_{1}(\mathrm{t}_{\mathrm{p}})\approx 1 + e^{-2\cdot 0{,}693}\approx 1 + 0{,}2503 \approx 1{,}2503.
Logo \%\mathrm{UP}_1\approx 25{,}03\% (coerente com a fórmula padrão).
B) Sistema T_{2}(s)=\dfrac{245{,}42}{(s+10)(s^{2}+4s+24{,}542)}.
  1. Y_{2}(s)=\dfrac{245{,}42}{s(s+10)(s^{2}+4s+24{,}542)}.
  2. Faço frações parciais do tipo
Y_{2}(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{B}{s+10}+\dfrac{C s + D}{s^{2}+4s+24{,}542},
onde, novamente, o coeficiente em 1/s é 1 porque T_2(0)=1.
  1. Calculando B,C,D (igualando coeficientes ou avaliando limites) obtém-se numericamente:
B \approx -0{,}2903,\quad C \approx -0{,}7097,\quad D\approx -5{,}7418.
  1. Termo exponencial do polo em -10 em t=\mathrm{t}_{\mathrm{p}} é muito pequeno:
B e^{-10\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}\approx -0{,}2903\cdot e^{-10\cdot 0{,}693}\approx -0{,}00028\quad(\text{negligível}).í
  1. Contribuição do modo oscilatório no instante \mathrm{t}_{\mathrm{p}} (onde \cos(\omega_d t)=-1, \sin=0) é
e^{-2\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}\cdot\big(-C\big)\approx e^{-1{,}386}\cdot 0{,}7097 \approx 0{,}1776.
Portanto
y_{2}(\mathrm{t}_{\mathrm{p}})\approx 1 + 0{,}1776 \approx 1{,}1776,
o que dá \%\mathrm{UP}_2\approx 17{,}76\%.
Observação: \mathrm{t}_{\mathrm{p}} praticamente não mudou (o denominador quadrático não mudou: \mathrm{t}_{\mathrm{p}}\approx 0{,}693 s) e \mathrm{t}_{\mathrm{s}} continua dominado pelo termo e^{-2t} do par complexo, então \mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx 2{,}00 s. A diferença principal é a amplitude do modo oscilatório (resíduo), reduzida aqui pela presença do pólo extra e ajuste do numerador.
C) Sistema T_{3}(s)=\dfrac{73{,}626}{(s+3)(s^{2}+4s+24{,}542)}.
  1. Y_{3}(s)=\dfrac{73{,}626}{s(s+3)(s^{2}+4s+24{,}542)}.
  2. Frações parciais:
Y_{3}(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{B}{s+3}+\dfrac{C s + D}{s^{2}+4s+24{,}542},
com B,C,D determinados por igualação. Calculando:
B \approx -1{,}1394,\quad C\approx 0{,}1394,\quad D\approx -2{,}8606.
  1. Contribuição do polo real -3 no tempo \mathrm{t}_{\mathrm{p}}:
B e^{-3\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}\approx -1{,}1394\cdot e^{-3\cdot 0{,}693}\approx -1{,}1394\cdot 0{,}125\approx -0{,}1424.
Esse termo NÃO é desprezível (é da ordem de 10^{-1}), pois o polo -3 não é tão rápido comparado ao dominante -2.
  1. Contribuição do modo oscilatório no instante \mathrm{t}_{\mathrm{p}} (aqui a parte quadrática numericamente dá contribuição negativa neste instante):
\text{contribuição oscilatória}\approx e^{-2\mathrm{t}_{\mathrm{p}}}\cdot C\cdot\cos(\omega_d\mathrm{t}_{\mathrm{p}})\approx 0{,}2503\cdot(0{,}1394\cdot (-1))\approx -0{,}0348.çãó
  1. Somando:
y_{3}(\mathrm{t}_{\mathrm{p}})\approx 1 + (-0{,}1424) + (-0{,}0348) \approx 0{,}8228.
Ou seja, no instante que corresponde ao pico do modo oscilatório puro, a resposta do sistema T_{3} está abaixo do valor final (isto é, não há overshoot positivo imediato — existe uma primeira excursão para baixo). Portanto \%\mathrm{UP}_3 = 0\% (não existe pico acima do valor final; existe, na prática, uma primeira variação negativa de cerca de 17{,}72\% abaixo de 1).
Observação sobre \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}} para T_{3}:
  • \mathrm{t}_{\mathrm{p}} associado ao par complexo continua sendo \approx 0{,}693 s (o período/instante da oscilação não muda), mas o primeiro máximo positivo pode não acontecer nesse instante por causa da combinação dos termos; aqui, o termo do polo real em -3 soma com o modo oscilatório e “cancela” o pico positivo naquele instante.
  • \mathrm{t}_{\mathrm{s}} (2%): como a taxa de decaimento principal do envelope continua sendo e^{-2t} (vinda do par complexo), o tempo de acomodação fica próximo de 2{,}0 s; contudo, a presença do modo em -3 altera as amplitudes e a forma da aproximação final, mas não muda muito a ordem de grandeza de \mathrm{t}_{\mathrm{s}}.

Passo 5

Interpretação comparativa e razões físicas/matemáticas para semelhanças e diferenças.
  1. Semelhanças:
  • Todos os três sistemas compartilham o mesmo par complexo (o mesmo quadrático no denominador). Portanto:
    • A frequência amortecida \omega_d é a mesma para os três — logo o tempo característico da oscilação (o “período” e a fórmula \mathrm{t}_{\mathrm{p}}=\pi/\omega_d) é o mesmo.
    • A taxa de decaimento da envoltória do modo oscilatório é a mesma ( e^{-\zeta\omega_n t}=e^{-2t} com \zeta\omega_n\approx 2), razão pela qual \mathrm{t}_{\mathrm{s}} calculado pela regra empírica 4/(\zeta\omega_n) fica praticamente igual ( \approx 2{,}0 s) para todos.
  1. Diferenças (por que as respostas reais diferem):
  • A amplitude real das oscilações (e portanto o \%\mathrm{UP}) depende não só da posição dos polos, mas também dos coeficientes/resíduos associados a cada modo, que são afetados pelo numerador e por polos adicionais. Em outras palavras: mesma frequência e amortecimento do modo oscilatório, mas diferentes “pesos” desse modo na resposta.
  • Para T_{2}, o polo adicional em -10 é bem rápido; sua contribuição decai muito rápido e é praticamente desprezível na região do primeiro pico. Resultado: \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}} praticamente iguais aos de T_{1}, porém o coeficiente do modo oscilatório foi reduzido (pela presença do polo e pelo ajuste do numerador), levando a \%\mathrm{UP}_2 menor que \%\mathrm{UP}_1 (aprox. 17{,}8\% vs 25{,}0\%).
  • Para T_{3}, o polo em -3 NÃO é muito mais rápido que a parte real dos polos dominantes ( -2); portanto sua contribuição é numericamente significativa no instante do primeiro pico e pode somar com sinal oposto ao modo oscilatório, reduzindo-o ou até invertendo o sinal naquele instante. Resultado: o primeiro extremum é uma excursão para baixo (undershoot) e NÃO existe overshoot positivo imediato; portanto \%\mathrm{UP}_3=0\% (na prática há uma primeira defasagem negativa de cerca de 17{,}7\% abaixo do valor final). Ainda assim, \mathrm{t}_{\mathrm{p}} do modo oscilatório permanece \approx 0{,}693 s, porque esse instante vem do par complexo, mas a amplitude naquele instante é fortemente alterada pela soma dos modos.
  1. Conclusão sobre quais sistemas têm desempenho transitório semelhante:
  • Em termos de tempos característicos ( \mathrm{t}_{\mathrm{p}},\mathrm{t}_{\mathrm{s}}) todos são semelhantes porque os polos dominantes (o par complexo) são idênticos.
  • Em termos de overshoot ( \%\mathrm{UP}) o comportamento difere: T_{1} tem overshoot maior (~ 25{,}0\%); T_{2} tem overshoot moderado (~ 17{,}8\%); T_{3} praticamente não tem overshoot positivo (há undershoot).
  • Resumindo: T_{1} e T_{2} têm desempenho transitório mais parecido entre si do que com T_{3} se considerarmos \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}}; mas em \%\mathrm{UP} T_{1} e T_{2} também diferem de forma apreciável. T_{3} é o caso que mais se distingue por causa do polo em -3.

Passo 6

Como gerar os gráficos (para você rodar e verificar). Código de exemplo em Python (using scipy+matplotlib) e em MATLAB. Rode no seu computador para ver as curvas e comparar visualmente.
Python (scipy.signal):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# Definir sistemas
num1 = [24.542]
den1 = [1, 4, 24.542]

num2 = [245.42]
den2 = np.polymul([1,10], den1)  # (s+10)*(s^2+4s+24.542)

num3 = [73.626]
den3 = np.polymul([1,3], den1)   # (s+3)*(s^2+4s+24.542)

sys1 = signal.TransferFunction(num1, den1)
sys2 = signal.TransferFunction(num2, den2)
sys3 = signal.TransferFunction(num3, den3)

t = np.linspace(0,5,2000)
t1, y1 = signal.step(sys1, T=t)
t2, y2 = signal.step(sys2, T=t)
t3, y3 = signal.step(sys3, T=t)

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(t1,y1,label='T1')
plt.plot(t2,y2,label='T2')
plt.plot(t3,y3,label='T3')
plt.axhline(1, color='k', linewidth=0.6, linestyle='--')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('Resposta ao degrau')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
MATLAB:
num1 = 24.542;
den1 = [1 4 24.542];

num2 = 245.42;
den2 = conv([1 10], den1);

num3 = 73.626;
den3 = conv([1 3], den1);

sys1 = tf(num1, den1);
sys2 = tf(num2, den2);
sys3 = tf(num3, den3);

t = 0:0.002:5;
y1 = step(sys1, t);
y2 = step(sys2, t);
y3 = step(sys3, t);

plot(t, y1, t, y2, t, y3)
yline(1,'--k')
legend('T1','T2','T3')
xlabel('t (s)'), ylabel('Resposta ao degrau'), grid on
Rode qualquer um desses códigos: os gráficos mostrarão as diferenças explicadas acima.

Resposta

T1: \%\mathrm{UP}\approx 25{,}03\%, \mathrm{t}_{\mathrm{p}}\approx 0{,}693\\ \text{s}, \mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx 2{,}00\\ \text{s}.
T2: \%\mathrm{UP}\approx 17{,}76\%, \mathrm{t}_{\mathrm{p}}\approx 0{,}693\\ \text{s}, \mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx 2{,}00\\ \text{s}.
T3: \%\mathrm{UP}=0\% (não há pico positivo; existe undershoot ≈ 17{,}72\% abaixo do valor final no primeiro extremo), \mathrm{t}_{\mathrm{p}} do modo ≈ 0{,}693\\ \text{s} (o instante associado ao par complexo), \mathrm{t}_{\mathrm{s}}\approx 2{,}00\\ \text{s}.
Comparação/razão: todos têm \mathrm{t}_{\mathrm{p}} e \mathrm{t}_{\mathrm{s}} semelhantes porque compartilham o mesmo par complexo (mesmo \omega_n e \zeta); as diferenças no \%\mathrm{UP} vêm dos resíduos (coeficientes dos modos) que são alterados pelos polos reais extras e pelo numerador: polo rápido em -10 tem efeito pequeno (T2) mas reduz a amplitude oscilatória; polo em -3 tem efeito significativo e pode cancelar/somar com sinal oposto ao modo oscilatório, alterando fortemente a amplitude e até eliminando o overshoot (T3).

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