Plote a resposta ao degrau unitário para cada Função de Transferência (FT) dada. Em seguida, compare os gráficos, identificando quais FTs resultam em desempenho transitório semelhante (considerando
). Por fim, explique as razões para essas semelhanças ou diferenças no desempenho.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas para cada função de transferência dada:
- “Plote a resposta ao degrau unitário” para cada uma das FTs:
a)
b)
c) - “Compare os gráficos, identificando quais FTs resultam em desempenho transitório semelhante (considerando
).” - “Explique as razões para essas semelhanças ou diferenças no desempenho.”
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- As três FTs têm o mesmo polinômio quadrático no denominador:
. - As FTs
e têm, além desse par complexo conjugado, um polo real extra em e , respectivamente. - Os numeradores foram escolhidos de modo que o ganho DC de cada FT é unitário (verificação direta mais adiante).
A partir daqui vou:
- Explicar as fórmulas de resposta ao degrau para sistemas de segunda ordem e como extrair
, e . - Calcular valores numéricos para cada sistema (quando necessário usando decomposição em frações parciais para os sistemas de ordem 3) e comparar os resultados.
- Dar código (MATLAB/Python) para que você possa gerar os gráficos no seu computador e conferir visualmente.
Passo 2
Breve aula/intuitiva sobre resposta ao degrau e as quantidades pedidas (sem pular etapas).
- Polos complexos de segunda ordem e parâmetros:
- Um sistema de segunda ordem típico (forma canônica) é
. Aqui: -
é a frequência natural não amortecida (rad/s). -
é o coeficiente de amortecimento (damping ratio), que controla se o sistema oscila ( ) ou não.
-
- Para o denominador
podemos identificar:
- Fórmulas úteis para um modo subamortecido (
):
- Frequência amortecida:
- Tempo do primeiro pico (peak time):
Observação: essa fórmula dá o instante do primeiro extremo associado ao modo oscilatório; em sistemas de ordem maior o instante pode ser deslocado um pouco, mas normalmente é bem aproximado por essa expressão quando o par complexo domina. - Percentual de overshoot (
, também chamado de percent overshoot): Esta expressão dá a amplitude percentual do pico máximo acima do valor final, quando o modo oscilatório domina. - Tempo de acomodação (settling time) para critério de
: Essa fórmula vem do decaimento exponencial da envoltória ; é uma regra empírica muito usada em controles.
- Efeito de polos adicionais:
- Se houver um polo real adicional em
: - Se
é grande (polo rápido, muito à esquerda), sua contribuição decai rapidamente e o par complexo geralmente domina o transiente: comportamento muito parecido ao da segunda ordem original. - Se
está relativamente próximo do parte real dos polos complexos dominantes, a contribuição desse polo pode alterar a amplitude das oscilações (mudando as constantes de modo) e até modificar sinais/alturas dos picos. O local dos polos complexos, porém, determina e a taxa de decaimento da envoltória (porque esses vêm do par quadrático); portanto e tendem a ser similares enquanto o par complexo dominar.
- Se
Passo 3
Calculemos os parâmetros do par complexo (esses valores são comuns a todas as FTs porque o quadrático é igual em todas).
- Extração de
e :
- Frequência amortecida
:
- Tempo do pico teórico do modo:
- Percent overshoot teórico do modo:
(Esse valor é o que o par complexo por si só produziria se fosse o único modo ativo.)
- Tempo de acomodação (
):
Resumo do par complexo (mesmo para as três FTs):
-
, -
, -
, -
(baseado no par complexo), -
(do modo oscilatório) , -
.
Esses são valores “intrínsecos” do par complexo; agora precisamos ver como o terceiro polo (quando presente) altera as amplitudes reais da resposta ao degrau — ou seja, calcular os coeficientes (resíduos) para saber quanto cada modo contribui.
Passo 4
Análise por frações parciais e valores numéricos reais da resposta ao degrau para cada FT (eu mostro todas as contas passo a passo).
Primeiro, nota geral: a resposta ao degrau em Laplace é
. Em frações parciais ela se escreve como soma do termo
(ganho DC) mais termos exponenciais ou oscilatórios. Vou usar esse fato para extrair os coeficientes (resíduos) e avaliar a resposta no tempo
para comparar os picos reais.
A) Sistema
.
-
. -
Frações parciais simples: escrevemos
porque o ganho DC
dá termo
. Igualando numeradores e resolvendo obtemos
e
(detalhes algebricos: basta multiplicar ambos os lados e igualar coeficientes).
- Transformada inversa: o termo quadrático dá
(foi reescrito usando
.)
- Valor no tempo do pico
(onde , ):
porque a combinação numérica dá contribuição positiva
. Numericamente:
Logo
(coerente com a fórmula padrão).
B) Sistema
.
-
. -
Faço frações parciais do tipo
onde, novamente, o coeficiente em
é
porque
.
- Calculando
(igualando coeficientes ou avaliando limites) obtém-se numericamente:
- Termo exponencial do polo em
em é muito pequeno:
- Contribuição do modo oscilatório no instante
(onde , ) é
Portanto
o que dá
.
Observação:
praticamente não mudou (o denominador quadrático não mudou:
s) e
continua dominado pelo termo
do par complexo, então
s. A diferença principal é a amplitude do modo oscilatório (resíduo), reduzida aqui pela presença do pólo extra e ajuste do numerador.
C) Sistema
.
-
. -
Frações parciais:
com
determinados por igualação. Calculando:
- Contribuição do polo real
no tempo :
Esse termo NÃO é desprezível (é da ordem de
), pois o polo
não é tão rápido comparado ao dominante
.
- Contribuição do modo oscilatório no instante
(aqui a parte quadrática numericamente dá contribuição negativa neste instante):
- Somando:
Ou seja, no instante que corresponde ao pico do modo oscilatório puro, a resposta do sistema
está abaixo do valor final (isto é, não há overshoot positivo imediato — existe uma primeira excursão para baixo). Portanto
(não existe pico acima do valor final; existe, na prática, uma primeira variação negativa de cerca de
abaixo de 1).
Observação sobre
e
para
:
-
associado ao par complexo continua sendo s (o período/instante da oscilação não muda), mas o primeiro máximo positivo pode não acontecer nesse instante por causa da combinação dos termos; aqui, o termo do polo real em soma com o modo oscilatório e “cancela” o pico positivo naquele instante. -
(2%): como a taxa de decaimento principal do envelope continua sendo (vinda do par complexo), o tempo de acomodação fica próximo de s; contudo, a presença do modo em altera as amplitudes e a forma da aproximação final, mas não muda muito a ordem de grandeza de .
Passo 5
Interpretação comparativa e razões físicas/matemáticas para semelhanças e diferenças.
- Semelhanças:
- Todos os três sistemas compartilham o mesmo par complexo (o mesmo quadrático no denominador). Portanto:
- A frequência amortecida
é a mesma para os três — logo o tempo característico da oscilação (o “período” e a fórmula ) é o mesmo. - A taxa de decaimento da envoltória do modo oscilatório é a mesma (
com ), razão pela qual calculado pela regra empírica fica praticamente igual ( s) para todos.
- A frequência amortecida
- Diferenças (por que as respostas reais diferem):
- A amplitude real das oscilações (e portanto o
) depende não só da posição dos polos, mas também dos coeficientes/resíduos associados a cada modo, que são afetados pelo numerador e por polos adicionais. Em outras palavras: mesma frequência e amortecimento do modo oscilatório, mas diferentes “pesos” desse modo na resposta. - Para
, o polo adicional em é bem rápido; sua contribuição decai muito rápido e é praticamente desprezível na região do primeiro pico. Resultado: e praticamente iguais aos de , porém o coeficiente do modo oscilatório foi reduzido (pela presença do polo e pelo ajuste do numerador), levando a menor que (aprox. vs ). - Para
, o polo em NÃO é muito mais rápido que a parte real dos polos dominantes ( ); portanto sua contribuição é numericamente significativa no instante do primeiro pico e pode somar com sinal oposto ao modo oscilatório, reduzindo-o ou até invertendo o sinal naquele instante. Resultado: o primeiro extremum é uma excursão para baixo (undershoot) e NÃO existe overshoot positivo imediato; portanto (na prática há uma primeira defasagem negativa de cerca de abaixo do valor final). Ainda assim, do modo oscilatório permanece s, porque esse instante vem do par complexo, mas a amplitude naquele instante é fortemente alterada pela soma dos modos.
- Conclusão sobre quais sistemas têm desempenho transitório semelhante:
- Em termos de tempos característicos (
) todos são semelhantes porque os polos dominantes (o par complexo) são idênticos. - Em termos de overshoot (
) o comportamento difere: tem overshoot maior (~ ); tem overshoot moderado (~ ); praticamente não tem overshoot positivo (há undershoot). - Resumindo:
e têm desempenho transitório mais parecido entre si do que com se considerarmos e ; mas em e também diferem de forma apreciável. é o caso que mais se distingue por causa do polo em .
Passo 6
Como gerar os gráficos (para você rodar e verificar). Código de exemplo em Python (using scipy+matplotlib) e em MATLAB. Rode no seu computador para ver as curvas e comparar visualmente.
Python (scipy.signal):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
# Definir sistemas
num1 = [24.542]
den1 = [1, 4, 24.542]
num2 = [245.42]
den2 = np.polymul([1,10], den1) # (s+10)*(s^2+4s+24.542)
num3 = [73.626]
den3 = np.polymul([1,3], den1) # (s+3)*(s^2+4s+24.542)
sys1 = signal.TransferFunction(num1, den1)
sys2 = signal.TransferFunction(num2, den2)
sys3 = signal.TransferFunction(num3, den3)
t = np.linspace(0,5,2000)
t1, y1 = signal.step(sys1, T=t)
t2, y2 = signal.step(sys2, T=t)
t3, y3 = signal.step(sys3, T=t)
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(t1,y1,label='T1')
plt.plot(t2,y2,label='T2')
plt.plot(t3,y3,label='T3')
plt.axhline(1, color='k', linewidth=0.6, linestyle='--')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('Resposta ao degrau')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
MATLAB:
num1 = 24.542;
den1 = [1 4 24.542];
num2 = 245.42;
den2 = conv([1 10], den1);
num3 = 73.626;
den3 = conv([1 3], den1);
sys1 = tf(num1, den1);
sys2 = tf(num2, den2);
sys3 = tf(num3, den3);
t = 0:0.002:5;
y1 = step(sys1, t);
y2 = step(sys2, t);
y3 = step(sys3, t);
plot(t, y1, t, y2, t, y3)
yline(1,'--k')
legend('T1','T2','T3')
xlabel('t (s)'), ylabel('Resposta ao degrau'), grid on
Rode qualquer um desses códigos: os gráficos mostrarão as diferenças explicadas acima.
Resposta
T1:
,
,
.
T2: ,
,
.
T3: (não há pico positivo; existe undershoot ≈
abaixo do valor final no primeiro extremo),
do modo ≈
(o instante associado ao par complexo),
.
Comparação/razão: todos têm e
semelhantes porque compartilham o mesmo par complexo (mesmo
e
); as diferenças no
vêm dos resíduos (coeficientes dos modos) que são alterados pelos polos reais extras e pelo numerador: polo rápido em
tem efeito pequeno (T2) mas reduz a amplitude oscilatória; polo em
tem efeito significativo e pode cancelar/somar com sinal oposto ao modo oscilatório, alterando fortemente a amplitude e até eliminando o overshoot (T3).
T2:
T3:
Comparação/razão: todos têm