Os sistemas de segunda ordem a seguir, já estão em malha fechada e para cada um destes sistemas, determine os valores de zeta, \omega_{n}, T_{s}, T_{p}, T_{r} e % U P).
G_{1}(s)=\frac{121}{s^{2}+13,2 s+121};

Passo 1

O enunciado dá o sistema em malha fechada
G_{1}(s)=\frac{121}{s^{2}+13,2\,s+121}
e pede para determinar os parâmetros característicos de um sistema de segunda ordem: \zeta (coeficiente de amortecimento), \omega_{n} (frequência natural não amortecida), T_{s} (tempo de acomodação), T_{p} (tempo do primeiro pico), T_{r} (tempo de subida) e \%\\ U P (porcentagem de overshoot).
Informações dadas:
  • Denominador do sistema: s^{2}+13,2\,s+121.
    Perguntas a responder (cada uma precisa de um valor numérico):
  • Qual é \zeta?
  • Qual é \omega_{n}?
  • Qual é T_{s} (usando critério de 2%)?
  • Qual é T_{p}?
  • Qual é T_{r} (definido como o primeiro instante em que a resposta atinge o valor final pela primeira vez)?
  • Qual é a \%\\ U P (overshoot percentual da resposta ao degrau)?

Passo 2

Comparação com a forma padrão de um sistema de segunda ordem subamortecido.
A forma padrão do denominador é
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Comparando com o denominador dado s^{2}+13,2\,s+121, identificam-se os termos:
\omega_{n}^{2}=121,\qquad 2\zeta\omega_{n}=13,2.
Agora calculamos \omega_{n} e \zeta passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \omega_{n}:
\omega_{n}=\sqrt{121}=11\quad(\text{rad/s}).
Cálculo de \zeta:
\zeta=\frac{13,2}{2\cdot 11}=\frac{13,2}{22}=0,6.
Breve interpretação: \omega_{n} é a frequência natural do sistema sem amortecimento e \zeta indica quanto o sistema é amortecido (0< \zeta<1 indica subamortecimento e oscilações amortecidas).

Passo 4

Cálculo da frequência amparada (frequência natural amortecida) \omega_{d}. Essa frequência aparece nas oscilações e é dada por
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo \omega_{n}=11 e \zeta=0,6:
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8,
logo
\omega_{d}=11\cdot 0,8=8,8\quad(\text{rad/s}).

Passo 5

Cálculo da porcentagem de overshoot (%\ U P). Fórmula padrão para overshoot em resposta ao degrau de um sistema subamortecido:
\%\\ U P = 100\% \cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Substituindo \zeta=0,6 e \sqrt{1-\zeta^{2}}=0,8:
\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{0,6\pi}{0,8}=0,75\pi\approx 2,35619449,
então
\%\\ U P = 100\% \cdot e^{-2,35619449}\approx 100\%\cdot 0,094006\approx 9,40\%.

Passo 6

Cálculo do tempo do primeiro pico T_{p}. Fórmula padrão:
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}.
Substituindo \omega_{d}=8,8:
T_{p}=\frac{\pi}{8,8}\approx\frac{3,14159265}{8,8}\approx 0,357\\ \text{s}.

Passo 7

Cálculo do tempo de acomodação T_{s} (critério de 2%). Para um sistema de segunda ordem subamortecido, aproxima-se por
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}}.
Substituindo \zeta\omega_{n}=0,6\cdot11=6,6:
T_{s}\approx \frac{4}{6,6}\approx 0,606\\ \text{s}.
Comentário rápido: o fator 4 vem da condição de que o envelope exponencial e^{-\zeta\omega_n t} tenha decaído até aproximadamente 2% (porque e^{-4}\approx 0,018\approx 1,8\%).

Passo 8

Cálculo do tempo de subida T_{r}. Aqui usamos a definição conveniente para sistemas subamortecidos: T_{r} é o primeiro instante em que a resposta ao degrau atinge o valor final (cruzamento ascendente). Da expressão trigonométrica da resposta, obtém-se a fórmula
T_{r}=\frac{\pi-\operatorname{arccos}\zeta}{\omega_{d}}.
Passos numéricos:
\operatorname{arccos}(0,6)\approx 0,927295218\\ \text{rad},
\pi-\operatorname{arccos}(0,6)\approx 3,14159265-0,927295218=2,214297432,
T_{r}=\frac{2,214297432}{8,8}\approx 0,252\\ \text{s}.
Observação: algumas fontes definem T_{r} como tempo entre 10% e 90% do valor final; aqui adotou-se a definição utilizada na maioria dos cursos de controle para sistemas subamortecidos (primeiro cruzamento do valor final).

Resposta

\zeta=0,6
\omega_{n}=11\\ \text{rad/s}
T_{s}\approx 0,606\\ \text{s}
T_{p}\approx 0,357\\ \text{s}
T_{r}\approx 0,252\\ \text{s}
\%\\ U P\approx 9,40\%

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