Os sistemas de segunda ordem a seguir, já estão em malha fechada e para cada um destes sistemas, determine os valores de
e % U P).
;
Passo 1
O enunciado dá o sistema em malha fechada
e pede para determinar os parâmetros característicos de um sistema de segunda ordem:
(coeficiente de amortecimento),
(frequência natural não amortecida),
(tempo de acomodação),
(tempo do primeiro pico),
(tempo de subida) e
(porcentagem de overshoot).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Denominador do sistema:
.
Perguntas a responder (cada uma precisa de um valor numérico): - Qual é
? - Qual é
? - Qual é
(usando critério de 2%)? - Qual é
? - Qual é
(definido como o primeiro instante em que a resposta atinge o valor final pela primeira vez)? - Qual é a
(overshoot percentual da resposta ao degrau)?
Passo 2
Comparação com a forma padrão de um sistema de segunda ordem subamortecido.
A forma padrão do denominador é
A forma padrão do denominador é
Comparando com o denominador dado
, identificam-se os termos:
Agora calculamos
e
passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Breve interpretação:
é a frequência natural do sistema sem amortecimento e
indica quanto o sistema é amortecido (0<
<1 indica subamortecimento e oscilações amortecidas).
Passo 4
Cálculo da frequência amparada (frequência natural amortecida)
. Essa frequência aparece nas oscilações e é dada por
Substituindo
e
:
logo
Passo 5
Cálculo da porcentagem de overshoot (%\ U P). Fórmula padrão para overshoot em resposta ao degrau de um sistema subamortecido:
Substituindo
e
:
então
Passo 6
Cálculo do tempo do primeiro pico
. Fórmula padrão:
Substituindo
:
Passo 7
Cálculo do tempo de acomodação
(critério de 2%). Para um sistema de segunda ordem subamortecido, aproxima-se por
Substituindo
:
Comentário rápido: o fator 4 vem da condição de que o envelope exponencial
tenha decaído até aproximadamente 2% (porque
).
Passo 8
Cálculo do tempo de subida
. Aqui usamos a definição conveniente para sistemas subamortecidos:
é o primeiro instante em que a resposta ao degrau atinge o valor final (cruzamento ascendente). Da expressão trigonométrica da resposta, obtém-se a fórmula
Passos numéricos:
Observação: algumas fontes definem
como tempo entre 10% e 90% do valor final; aqui adotou-se a definição utilizada na maioria dos cursos de controle para sistemas subamortecidos (primeiro cruzamento do valor final).