Parâmetros Chave:
- Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
- Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida
, o tempo de pico (
), o tempo de subida (
), o tempo de assentamento (
) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.
Passo 1
O que o enunciado pede (parâmetros-chave) e o que é fornecido:
- Se o sistema for de primeira ordem: encontrar a constante de tempo
e o ganho estático . - Se o sistema for de segunda ordem: calcular o fator de amortecimento
, a frequência natural não amortecida , o tempo de pico , o tempo de subida , o tempo de assentamento e o sobressinal percentual (%!UP).
Informações normalmente fornecidas num enunciado (que serão usadas): a função de transferênciado sistema (ou os coeficientes do polinômio denominador e numerador). Aqui não há um específico enviado, então a solução a seguir explica passo a passo como extrair cada parâmetro a partir de .
Passo 2
Como reconhecer e tratar um sistema de primeira ordem (forma canónica e extração de
e
).
- Forma canónica de 1ª ordem:
- Aqui
é o ganho estático (ganho DC) e é a constante de tempo. No enunciado pedem e ; estamos identificando e .
- Aqui
- Regra prática para qualquer
de 1ª ordem escrita como : - Calcular o ganho estático (ganho DC):
. (Sempre avaliar .) - Constante de tempo: escreva o denominador em forma
. Se o denominador for , dividir por e obtém-se ou, mais naturalmente, ? Atenção: reorganizando , então é o coeficiente que multiplica — contudo a constante de tempo é o inverso da posição do polo: polo então . Para evitar confusão, prefira: encontrar o polo (solução de : ) e então .
- Calcular o ganho estático (ganho DC):
- Exemplo rápido e ilustrativo: se
, -
- Polo em
então - Ou reescrever como
e ler .
-
Passo 3
Como reconhecer e tratar um sistema de segunda ordem (forma canónica e identificação de
e
).
- Forma canónica de 2ª ordem (forma padrão de um sistema subamortecido):
- Aqui
é a frequência natural não amortecida (rad/s) e é o fator de amortecimento (adimensional).
- Aqui
- Se o denominador do seu
for , faça a identificação: -
- Se o numerador tiver um ganho
(por exemplo ou ), o ganho estático é — calcule para obter o ganho DC real do sistema.
Passo 4
Definições e fórmulas úteis de tempo e overshoot para sistemas subamortecidos (
).
- Frequência amortecida:
- Tempo de pico
(tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau): - Derivação curta: o pico ocorre quando o argumento do seno na resposta amortecida atinge
; a frequência desse seno é , daí a fórmula.
- Derivação curta: o pico ocorre quando o argumento do seno na resposta amortecida atinge
- Sobressinal percentual (%!UP, também chamado overshoot):
- Derivação curta: a amplitude do primeiro pico, em relação ao valor em regime permanente, é dada pelo decaimento exponencial
.
- Derivação curta: a amplitude do primeiro pico, em relação ao valor em regime permanente, é dada pelo decaimento exponencial
- Tempo de assentamento
(critério usual de ou ): - Em geral: resolva
para , com (2%) ou (5%). - Aproximações clássicas:
- Justificativa:
e , daí as constantes.
- Em geral: resolva
- Tempo de subida
: definição e fórmula prática. - Definição comum: tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor de regime (ou, em outra definição usada, tempo entre 10% e 90% do valor final).
- Para a definição “tempo até a primeira cruzamento do valor final” (0→100%), há uma fórmula explícita para sistemas subamortecidos:
- Esta expressão vem de escrever a resposta como uma amplitude amortecida multiplicando
e resolver a primeira vez em que essa seno faz a contribuição transitória ser zero (cruzamento do valor final). - Observação prática: muitas vezes, para
pequeno a moderado, usa-se uma aproximação empírica (ou intervalos a dependendo da definição), mas a fórmula com é a mais precisa para 0→100%.
Passo 5
Como proceder na prova, passo a passo prático (checklist rápido) ao receber um
:
- Identifique o grau do denominador. Se grau 1: tratar como 1ª ordem; se grau 2: tratar como 2ª ordem (ou reduzir a forma canónica).
- Calcule o ganho estático:
(avalie ). - Para 1ª ordem:
- Ache o polo
(resolva denominador = 0). Então e .
- Ache o polo
- Para 2ª ordem:
- Compare o denominador com
. - Extraia
e (se denominador ). - Calcule
, depois , %UP, (pela fórmula com ) e (usar a aproximação para 2%).
- Compare o denominador com
- Se o sistema não estiver exactamente na forma canónica, manipule algebricamente (fatorando constantes, escrevendo o denominador dividido pelo coeficiente líder, etc.) até comparar com a forma referência.
Passo 6
Exemplo numérico (para fixar a ideia) — passo a passo com números:
- Seja
- Identificar: denominador
→ . -
-
-
-
- %!UP
-
. Aqui então -
- Identificar: denominador
- Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas numéricas de forma direta e sem mágica.
Passo 7
Observações finais, dicas de prova e armadilhas:
- Sempre calcule o ganho DC com
; às vezes o numerador tem dependência em que reduz o ganho DC. - Para sistemas com termos de ordem superior (ordem >2) ou zeros e pólos adicionais, concentre-se nos pólos dominantes (mais próximos do eixo imaginário) se o enunciado pedir aproximação por um modelo de baixa ordem.
- Ao usar aproximações (por exemplo
), mencione que é aproximação e prefira sempre as fórmulas exatas quando possível. - Lembre-se das definições usadas para
(0→100% vs 10→90%): sempre declare qual definição adota se estiver em prova. A fórmula com corresponde à primeira vez que a resposta atinge o valor final (0→100%).
Resposta
Primeira ordem — Ganho estático:
. Constante de tempo: se
então
e
Segunda ordem — Se denominar for
:
(usar
ou
).