Parâmetros Chave:
  • Se for de primeira ordem: Encontre a constante de tempo (T) e o ganho estático (K).
  • Se for de segunda ordem: Calcule o fator de amortecimento (\zeta), a frequência natural não amortecida \left(\omega_{\mathrm{n}}\right), o tempo de pico ( t_{\mathrm{p}} ), o tempo de subida ( t_{\mathrm{r}} ), o tempo de assentamento ( t_{\mathrm{s}} ) e o sobressinal percentual (%UP), caso esses parâmetros se apliquem ao seu sistema.

Passo 1

O que o enunciado pede (parâmetros-chave) e o que é fornecido:
  • Se o sistema for de primeira ordem: encontrar a constante de tempo T e o ganho estático K.
  • Se o sistema for de segunda ordem: calcular o fator de amortecimento \zeta, a frequência natural não amortecida \omega_{\mathrm{n}}, o tempo de pico t_{\mathrm{p}}, o tempo de subida t_{\mathrm{r}}, o tempo de assentamento t_{\mathrm{s}} e o sobressinal percentual (%!UP).
    Informações normalmente fornecidas num enunciado (que serão usadas): a função de transferência G(s) do sistema (ou os coeficientes do polinômio denominador e numerador). Aqui não há um G(s) específico enviado, então a solução a seguir explica passo a passo como extrair cada parâmetro a partir de G(s).

Passo 2

Como reconhecer e tratar um sistema de primeira ordem (forma canónica e extração de K e T).
  • Forma canónica de 1ª ordem: G(s)=\frac{K_0}{\tau s + 1}.
    • Aqui K_0 é o ganho estático (ganho DC) e \tau é a constante de tempo. No enunciado pedem K e T; estamos identificando K\equiv K_0 e T\equiv \tau.
  • Regra prática para qualquer G(s) de 1ª ordem escrita como \dfrac{N}{a s + b}:
    • Calcular o ganho estático (ganho DC): K = \lim_{s\to 0} G(s) = \dfrac{N}{b}. (Sempre avaliar G(0).)
    • Constante de tempo: escreva o denominador em forma \tau s +1. Se o denominador for a s + b, dividir por b e obtém-se \tau = \dfrac{a}{b} ou, mais naturalmente, \tau = \dfrac{b}{a}? Atenção: reorganizando \dfrac{N}{a s + b}=\dfrac{N/b}{(a/b)s +1}, então \tau = \dfrac{a}{b} é o coeficiente que multiplica s — contudo a constante de tempo é o inverso da posição do polo: polo p=-\dfrac{b}{a} então \tau = -1/p = \dfrac{a}{b}. Para evitar confusão, prefira: encontrar o polo p (solução de a s + b =0: p=-\dfrac{b}{a}) e então \tau = -\dfrac{1}{p} = \dfrac{a}{b}.
  • Exemplo rápido e ilustrativo: se G(s)=\dfrac{3}{s+4},
    • K=\lim_{s\to 0}G(s)=\dfrac{3}{4}.
    • Polo em s=-4 então \tau = -1/(-4) = \dfrac{1}{4}.
    • Ou reescrever como \dfrac{3/4}{(1/4)s +1} e ler \tau = \tfrac{1}{4}.

Passo 3

Como reconhecer e tratar um sistema de segunda ordem (forma canónica e identificação de \omega_n e \zeta).
  • Forma canónica de 2ª ordem (forma padrão de um sistema subamortecido): G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}.
    • Aqui \omega_n é a frequência natural não amortecida (rad/s) e \zeta é o fator de amortecimento (adimensional).
  • Se o denominador do seu G(s) for s^2 + a_1 s + a_0, faça a identificação:
    • \omega_n = \sqrt{a_0}.
    • \zeta = \dfrac{a_1}{2\,\omega_n}.
  • Se o numerador tiver um ganho K (por exemplo G(s)=K\cdot\dfrac{\omega_n^2}{\cdots} ou G(s)=\dfrac{K_0}{s^2+a_1 s + a_0}), o ganho estático é \lim_{s\to 0}G(s) — calcule G(0) para obter o ganho DC real do sistema.

Passo 4

Definições e fórmulas úteis de tempo e overshoot para sistemas subamortecidos ( 0<\zeta<1).
  • Frequência amortecida: \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
  • Tempo de pico t_{\mathrm{p}} (tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau): t_{\mathrm{p}} = \frac{\pi}{\omega_d}.
    • Derivação curta: o pico ocorre quando o argumento do seno na resposta amortecida atinge \pi; a frequência desse seno é \omega_d, daí a fórmula.
  • Sobressinal percentual (%!UP, também chamado overshoot): \%\mathrm{UP} = 100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
    • Derivação curta: a amplitude do primeiro pico, em relação ao valor em regime permanente, é dada pelo decaimento exponencial e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}.
  • Tempo de assentamento t_{\mathrm{s}} (critério usual de \pm 2\% ou \pm 5\%):
    • Em geral: resolva e^{-\zeta\omega_n t_{\mathrm{s}}} = \text{tol} para t_{\mathrm{s}}, com \text{tol}=0{,}02 (2%) ou 0{,}05 (5%).
    • Aproximações clássicas: t_{\mathrm{s}(2\%)} \approx \frac{4}{\zeta\omega_n},\qquad t_{\mathrm{s}(5\%)} \approx \frac{3}{\zeta\omega_n}.
    • Justificativa: -\ln(0{,}02)\approx 3{,}912\approx 4 e -\ln(0{,}05)\approx 2{,}996\approx 3, daí as constantes.
  • Tempo de subida t_{\mathrm{r}}: definição e fórmula prática.
    • Definição comum: tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor de regime (ou, em outra definição usada, tempo entre 10% e 90% do valor final).
    • Para a definição “tempo até a primeira cruzamento do valor final” (0→100%), há uma fórmula explícita para sistemas subamortecidos: t_{\mathrm{r}} = \frac{\pi - \operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_d} = \frac{\pi - \operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}.
    • Esta expressão vem de escrever a resposta como uma amplitude amortecida multiplicando \sin(\omega_d t + \varphi) e resolver a primeira vez em que essa seno faz a contribuição transitória ser zero (cruzamento do valor final).
    • Observação prática: muitas vezes, para \zeta pequeno a moderado, usa-se uma aproximação empírica t_{\mathrm{r}}\approx \dfrac{1{,}8}{\omega_n} (ou intervalos 1{,}1/\omega_n a 2{,}7/\omega_n dependendo da definição), mas a fórmula com \operatorname{arccos}(\zeta) é a mais precisa para 0→100%.

Passo 5

Como proceder na prova, passo a passo prático (checklist rápido) ao receber um G(s):
  1. Identifique o grau do denominador. Se grau 1: tratar como 1ª ordem; se grau 2: tratar como 2ª ordem (ou reduzir a forma canónica).
  2. Calcule o ganho estático: K = \lim_{s\to 0} G(s) (avalie G(0)).
  3. Para 1ª ordem:
    • Ache o polo p (resolva denominador = 0). Então \tau = -1/p e T=\tau.
  4. Para 2ª ordem:
    • Compare o denominador com s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2.
    • Extraia \omega_n = \sqrt{a_0} e \zeta = a_1/(2\omega_n) (se denominador s^2 + a_1 s + a_0).
    • Calcule \omega_d, depois t_p, %UP, t_r (pela fórmula com \operatorname{arccos}) e t_s (usar a aproximação 4/(\zeta\omega_n) para 2%).
  5. Se o sistema não estiver exactamente na forma canónica, manipule algebricamente (fatorando constantes, escrevendo o denominador dividido pelo coeficiente líder, etc.) até comparar com a forma referência.

Passo 6

Exemplo numérico (para fixar a ideia) — passo a passo com números:
  • Seja \displaystyle G(s)=\frac{25}{s^2 + 4s + 25}.
    1. Identificar: denominador s^2 + 4s + 25 a_1=4,\\ a_0=25.
    2. \omega_n = \sqrt{25} = 5.
    3. \zeta = \dfrac{a_1}{2\omega_n} = \dfrac{4}{2\cdot 5} = 0{,}4.
    4. \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 5\sqrt{1-0{,}16}=5\sqrt{0{,}84}\approx 4{,}5825.
    5. t_{\mathrm{p}} = \dfrac{\pi}{\omega_d}\approx \dfrac{3{,}1416}{4{,}5825}\approx 0{,}686\\ \text{s}.
    6. %!UP =100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}=100\cdot e^{-\dfrac{0{,}4\pi}{\sqrt{0{,}84}}}\approx 100\cdot e^{-1{,}372}\approx 25{,}4\%.
    7. t_{\mathrm{r}} = \dfrac{\pi - \operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_d}. Aqui \operatorname{arccos}(0{,}4)\approx 1{,}1593 então t_{\mathrm{r}}\approx \dfrac{3{,}1416-1{,}1593}{4{,}5825}\approx 0{,}433\\ \text{s}.
    8. t_{\mathrm{s}(2\%)} \approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{0{,}4\cdot 5}=\dfrac{4}{2}=2\\ \text{s}.
  • Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas numéricas de forma direta e sem mágica.

Passo 7

Observações finais, dicas de prova e armadilhas:
  • Sempre calcule o ganho DC com G(0); às vezes o numerador tem dependência em s que reduz o ganho DC.
  • Para sistemas com termos de ordem superior (ordem >2) ou zeros e pólos adicionais, concentre-se nos pólos dominantes (mais próximos do eixo imaginário) se o enunciado pedir aproximação por um modelo de baixa ordem.
  • Ao usar aproximações (por exemplo t_{\mathrm{r}}\approx 1{,}8/\omega_n), mencione que é aproximação e prefira sempre as fórmulas exatas quando possível.
  • Lembre-se das definições usadas para t_{\mathrm{r}} (0→100% vs 10→90%): sempre declare qual definição adota se estiver em prova. A fórmula com \pi-\operatorname{arccos}(\zeta) corresponde à primeira vez que a resposta atinge o valor final (0→100%).

Resposta

Primeira ordem — Ganho estático: K = \displaystyle\lim_{s\to 0} G(s). Constante de tempo: se G(s)=\dfrac{N}{a s + b} então p=-\dfrac{b}{a} e T=\tau=-\dfrac{1}{p}=\dfrac{a}{b}.
Segunda ordem — Se denominar for s^2 + a_1 s + a_0:
\displaystyle \omega_{n}=\sqrt{a_0}
\displaystyle \zeta=\dfrac{a_1}{2\omega_n}
\displaystyle \omega_{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
\displaystyle t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}
\displaystyle \%\mathrm{UP}=100\cdot e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
\displaystyle t_{r}=\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_{d}}=\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
\displaystyle t_{s}\approx\frac{-\ln(\text{tol})}{\zeta\omega_n} (usar \text{tol}=0{,}02\Rightarrow t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n} ou \text{tol}=0{,}05\Rightarrow t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}).

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