Determine se os sistemas abaixo são: (i) causal, (ii) com memoria e (iii) linear. Justifique a resposta.
y[n]=3 x[n]+5

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema discreto
y[n]=3,x[n]+5
e pede para verificar três propriedades clássicas de sistemas lineares:
  1. causalidade,
  2. memória (se é com memória ou memória-zero),
  3. linearidade.
    Para isso vamos usar:
  • Definição de causalidade: y[n0] só pode depender de x[m] para m<= n0.
  • Definição de memória-zero (sem memória): y[n0] depende apenas de x[n0].
  • Definição de linearidade: o sistema deve satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Analisando causalidade:
y[n0]=3,x[n0]+5
depende somente de x[n0], que é um valor presente (não futuro) do sinal de entrada. Logo, para qualquer n0, não há dependência de x[m] com m>n0.

Passo 3

Analisando memória:
Um sistema é sem memória se y[n0] depende exclusivamente de x[n0]. Aqui
y[n0]=3,x[n0]+5
não usa valores antigos nem futuros de x, apenas o valor presente. Portanto o sistema é memória-zero (sem memória).

Passo 4

Analisando linearidade:
  1. Homogeneidade: para um escalar a,
ya[n]=3,(a,x[n])+5=3a,x[n]+5,
enquanto a,y[n]=a,(3,x[n]+5)=3a,x[n]+5a. Como 5neq5a em geral, falha a homogeneidade.
2. Aditividade: para duas entradas x1 e x2,
y1+2[n]=3,(x1[n]+x2[n])+5=3x1[n]+3x2[n]+5,
mas
y1[n]+y2[n]=(3x1[n]+5)+(3x2[n]+5)=3x1[n]+3x2[n]+10neq y1+2[n]
Portanto não satisfaz aditividade nem homogeneidade, logo não é linear.

Resposta

(i) causal
(ii) sem memória
(iii) não linear

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