Determine se os sistemas abaixo são: (i) causal, (ii) com memoria e (iii) linear. Justifique a resposta.
y(t)=integral0^t[x(t)]^2 d t

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t) = integral0^t [x(tau)]^2 , dtau
Vamos usar as definições:
– Um sistema é causal se, para todo t0, y(t0) depende apenas de x(tau) com tau<= t0.
– É sem memória (memoryless) se y(t) depende somente de x(t); caso contrário, tem memória.
– É linear se satisfaz aditividade e homogeneidade (superposição).

Passo 2

Verificando causalidade: para um instante arbitrário t0,
y(t0) = integral0^t0 [x(tau)]^2 , dtau
usa somente valores de x(tau) para tau<= t0. Não há dependência de valores futuros ( tau>t0), logo o sistema é causal.

Passo 3

Verificando memória: a saída em t envolve a integral de x(tau) para tau variando de 0 até t. Como isso inclui valores de x em instantes tauneq t, o sistema tem memória.

Passo 4

Verificando linearidade: para demonstração por contra-exemplo, considere duas entradas x1 e x2. A resposta ao somatório seria
Tx1 + x2(t) = integral0^t [,x1(tau)+x2(tau),]^2 dtau neq integral0^t [x1(tau)]^2 dtau ;+;integral0^t [x2(tau)]^2 dtau = Tx1(t) + Tx2(t)
Como a propriedade de aditividade falha, o sistema não é linear.

Resposta

Causal: sim.
Com memória: sim.
Linear: não.

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