Determine se cada um dos sistemas abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a resposta ao impulso de um sistema LTI discreto
e pede para verificar se ele é
(i) sem memória, (ii) causal e (iii) BIBO estável.
Usaremos as definições:
– Um sistema LTI é sem memória se e só se para todo
.
– É causal se e só se para todo
.
– É BIBO estável se .
(i) sem memória, (ii) causal e (iii) BIBO estável.
Usaremos as definições:
– Um sistema LTI é sem memória se e só se
– É causal se e só se
– É BIBO estável se
Passo 2
Verificando se é sem memória:
Para ser sem memória precisaríamos ter
Para ser sem memória precisaríamos ter
Mas aqui
portanto há dependência de amostras passadas do sinal de entrada.
Logo, não é sem memória.
Logo, não é sem memória.
Passo 3
Verificando se é causal:
Observamos que
Observamos que
então
Em particular,
para todo
, o que satisfaz a condição de causalidade.
Logo, é causal.
Logo, é causal.
Passo 4
Verificando se é BIBO estável:
Calculamos a soma das magnitudes de :
Calculamos a soma das magnitudes de
Como a soma é finita, o sistema é BIBO estável.
Resposta
(i) não é sem memória.
(ii) é causal.
(iii) é estável.
(ii) é causal.
(iii) é estável.