Determine se cada um dos sistemas abaixo é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. As respostas devem ser justificadas.
h[n]=(1 / 2)^n u[n-1]

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao impulso de um sistema LTI discreto
h[n]=l(tfrac12r)^nu[n-1]
e pede para verificar se ele é
(i) sem memória, (ii) causal e (iii) BIBO estável.
Usaremos as definições:
– Um sistema LTI é sem memória se e só se h[n]=0 para todo nneq0.
– É causal se e só se h[n]=0 para todo n<0.
– É BIBO estável se sumn=-infty^infty|h[n]|<infty.

Passo 2

Verificando se é sem memória:
Para ser sem memória precisaríamos ter
h[n]=0forall nneq0
Mas aqui
h[n]=l(tfrac12r)^nneq0para n>=1,
portanto há dependência de amostras passadas do sinal de entrada.
Logo, não é sem memória.

Passo 3

Verificando se é causal:
Observamos que
u[n-1]=0para n<1,
então
h[n]=0para n<=0
Em particular, h[n]=0 para todo n<0, o que satisfaz a condição de causalidade.
Logo, é causal.

Passo 4

Verificando se é BIBO estável:
Calculamos a soma das magnitudes de h[n]:
sumn=-infty^infty|h[n]| =sumn=1^inftyl|l(tfrac12r)^nr| =sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12=1<infty
Como a soma é finita, o sistema é BIBO estável.

Resposta

(i) não é sem memória.
(ii) é causal.
(iii) é estável.

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