Determine a solução de
Sugestão:
- Calcule primeiro a solução estacionária.
- Depois, obtenha a solução transiente do problema. Para isto você deverá deduzir quais são as soluções fatoradas que serão usadas. Aqui você pode utilizar que a equação
com condições de fronteira
só terá solução não nula quando
,
Além disso, essas soluções são da forma
. Não se esqueça de indicar em que momento você usa o Princípio de Superposição.
- Finalmente, determine a solução
.
Passo 1
O problema é a equação de calor
com contorno misto
e condição inicial
Vamos usar o método de solução estacionária mais transiente: primeiro achamos a solução estacionária
(tempo‐independente) e depois escrevemos
, onde
satisfaz contornos homogêneos.
Passo 2
Solução estacionária
obtém‐se de
, logo
Como
dá
, e
. Portanto
Passo 3
Defina
. Então
e a condição inicial é
Passo 4
Para
usamos separação de variáveis
. A parte espacial satisfaz
Pela sugestão, as únicas soluções não‐triviais ocorrem para
e
A parte temporal satisfaz
Passo 5
Pelo Princípio da Superposição,
Os coeficientes
vêm de expandir
Observamos que
corresponde a
e
a
. Assim
Passo 6
Logo a parte transiente é
E finalmente
Simplificando os expoentes:
e
.