Determine a solução de
\begin{array}{ll} \mathrm{ED} & \partial_{t} u=4 \partial_{x}^{2} u, \quad 0 \leq x \leq \pi, t \geq 0 \\\ \mathrm{CF} & u(0, t)=0, \quad \partial_{x} u(\pi, t)=1 \quad t \geq 0 \\\ \mathrm{CI} & u(x, 0)=x+\operatorname{sen}\left(\frac{3}{2} x\right)-10 \operatorname{sen}\left(\frac{7}{2} x\right), \quad 0 \leq x \leq \pi \end{array}
Sugestão:
  • Calcule primeiro a solução estacionária.
  • Depois, obtenha a solução transiente do problema. Para isto você deverá deduzir quais são as soluções fatoradas que serão usadas. Aqui você pode utilizar que a equação
X^{\prime \prime}(x)-\lambda X(x)=0
com condições de fronteira X(0)=0, X^{\prime}(L)=0 só terá solução não nula quando
\lambda=-\left(\frac{(n+1 / 2) \pi}{L}\right)^{2}
, n=0,1, \ldots Além disso, essas soluções são da forma
X_{n}(x)=d_{n} \operatorname{sen} \left(\frac{(n+1 / 2) \pi}{L} x\right)
. Não se esqueça de indicar em que momento você usa o Princípio de Superposição.
  • Finalmente, determine a solução u.

Passo 1

O problema é a equação de calor
\partial_{t}u=4\,\partial_{x}^{2}u,\quad 0\le x\le \pi,\\ t\ge0
com contorno misto
u(0,t)=0,\quad \partial_{x}u(\pi,t)=1
e condição inicial
u(x,0)=x+\sin\bigl(\tfrac32x\bigr)-10\,\sin\bigl(\tfrac72x\bigr).
Vamos usar o método de solução estacionária mais transiente: primeiro achamos a solução estacionária v(x) (tempo‐independente) e depois escrevemos u(x,t)=v(x)+w(x,t), onde w satisfaz contornos homogêneos.

Passo 2

Solução estacionária v(x) obtém‐se de 4v''=0, logo
v(x)=A\,x+B.
Como v(0)=0 B=0, e v'(\pi)=A=1. Portanto
v(x)=x.

Passo 3

Defina w(x,t)=u(x,t)-v(x). Então
w_{t}=4\,w_{xx},\quad w(0,t)=u(0,t)-v(0)=0,\quad w_{x}(\pi,t)=u_{x}(\pi,t)-v'(\pi)=1-1=0,
e a condição inicial é
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=\sin\!\bigl(\tfrac32x\bigr)-10\,\sin\!\bigl(\tfrac72x\bigr).

Passo 4

Para w usamos separação de variáveis w(x,t)=X(x)\,T(t). A parte espacial satisfaz
X''-\lambda X=0,\quad X(0)=0,\quad X'(\pi)=0.
Pela sugestão, as únicas soluções não‐triviais ocorrem para
\lambda_{n}=-\Bigl(\tfrac{(n+1/2)\pi}{\pi}\Bigr)^{2}=-(n+\tfrac12)^{2}, \quad n=0,1,2,\dots
e
X_{n}(x)=\sin\bigl((n+\tfrac12)x\bigr).
A parte temporal satisfaz
T' =4\lambda_{n}\,T \;\Longrightarrow\; T_{n}(t)=e^{4\lambda_{n}t} =e^{-4(n+\tfrac12)^{2}t}.

Passo 5

Pelo Princípio da Superposição,
w(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\,\sin\bigl((n+\tfrac12)x\bigr)\,e^{-4(n+\tfrac12)^{2}t}.
Os coeficientes b_{n} vêm de expandir
w(x,0)=\sin\!\bigl(\tfrac32x\bigr)-10\,\sin\!\bigl(\tfrac72x\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\,\sin\bigl((n+\tfrac12)x\bigr).
Observamos que \sin(\tfrac32x) corresponde a n=1 e \sin(\tfrac72x) a n=3. Assim
b_{1}=1,\quad b_{3}=-10, \quad b_{n}=0\\ (n\neq1,3).

Passo 6

Logo a parte transiente é
w(x,t) =\sin\!\bigl(\tfrac32x\bigr)\,e^{-4(\tfrac32)^{2}t} -10\,\sin\!\bigl(\tfrac72x\bigr)\,e^{-4(\tfrac72)^{2}t}.
E finalmente
u(x,t)=v(x)+w(x,t) =x +\sin\!\bigl(\tfrac32x\bigr)\,e^{-\,\tfrac{9}{4}\,4\,t} -10\,\sin\!\bigl(\tfrac72x\bigr)\,e^{-\,\tfrac{49}{4}\,4\,t}.
Simplificando os expoentes: \tfrac{9}{4}\,4=9 e \tfrac{49}{4}\,4=49.

Resposta

u(x,t) =x +\sin\!\bigl(\tfrac32x\bigr)\,e^{-9t} -10\,\sin\!\bigl(\tfrac72x\bigr)\,e^{-49t}.

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