Determine se \boldsymbol{w}=\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right] pertence à \operatorname{Nul}(A), em que
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -5 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 2 & -4 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
w = \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}
pertence ao núcleo de \,A, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3\\\\ -2 & 5 & -1\\\\ 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}.
Lembrando que \operatorname{Nul}(A)
é o conjunto de todas as soluções de \,A x = 0. Para isso, basta calcular \,A\,w
e checar se dá o vetor nulo.

Passo 2

Vamos calcular \,A\,w
componente a componente:
A\,w = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3\\\\ -2 & 5 & -1\\\\ 2 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-2) + (-5)\cdot(-1) + 3\cdot(-1)\\[6pt] -2\cdot(-2) + 5\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1)\\[6pt] 2\cdot(-2) + (-4)\cdot(-1) + 0\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 5 - 3\\\\ 4 - 5 + 1\\\\ -4 + 4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como \,A\,w = (0,0,0)^T,
segue que \,w
satisfaz \,A\,w = 0
e, portanto, \,w \in \operatorname{Nul}(A).

Resposta

Sim, w pertence a \operatorname{Nul}(A).

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