Considere a função f(x)\) definida no intervalo \([-1,1]\) pela expressão \[f(x)= \begin{cases}x+1, & -1 \leq x<-\frac{1}{2} \\\\ 1 / 2, & -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\\ x, & \frac{1}{2}<x \leq 1\end{cases}
(a) Calcule os coeficientes de Fourier de f\]. (b) Escreva a expressão de \(S_{3} f(x), explicitamente, sem usar o sinal de somatório. Lembre que estamos denotando por S_{N} f(x) a soma parcial de Fourier de f até o índice N.
(c) Escreva a expressão obtida para a série de Fourier de f e esboce seu gráfico no intervalo [-3,3].
(d) Determine a série de Fourier da função par g:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} que coincide com f sobre o intervalo [0,1].
Na questão 1 você pode utilizar as primitivas:
\begin{aligned} & \int x \cos (a x) d x=\frac{1}{a^{2}} \cos (a x)+\frac{1}{a} x \operatorname{sen}(a x)+C \\\ & \int x \operatorname{sen}(a x) d x=\frac{1}{a^{2}} \operatorname{sen}(a x)-\frac{1}{a} x \cos (a x)+C \end{aligned}
onde a>0 e C \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define em [-1,1]\) a função \[f(x)= \begin{cases} x+1, & -1\le x<-\tfrac12,\\\ \tfrac12, & -\tfrac12\le x\le\tfrac12,\\\ x, & \tfrac12<x\le1, \end{cases}
e pede (a) os coeficientes de Fourier, (b) S_3f(x)\], \text{(c)} a série completa e seu gráfico em \([-3,3], e (d) a série de Fourier da extensão par de f em [-1,1]. Vamos usar a definição padrão em [-1,1] com
a_0=\int_{-1}^1f(x)\,dx,\quad a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^1f(x)\sin(n\pi x)\,dx,
e escrever
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr].

Passo 2

Calculamos primeiro
a_0=\int_{-1}^{-1/2}(x+1)dx+\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\,dx+\int_{1/2}^1x\,dx.
De fato
\int_{-1}^{-1/2}(x+1)dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+x\Bigr]_{-1}^{-1/2} =\Bigl(\tfrac{1}{8}-\tfrac12\Bigr)-\Bigl(\tfrac12-1\Bigr) =\tfrac18,
\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\,dx=\tfrac12\cdot1=\tfrac12, \quad \int_{1/2}^1x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{1/2}^1 =\tfrac12-\tfrac18=\tfrac38.
Somando vem
a_0=\tfrac18+\tfrac12+\tfrac38=1,
portanto \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 3

Para n\ge1 dividimos
a_n =\int_{-1}^{-1/2}(x+1)\cos(n\pi x)\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\cos(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^1x\cos(n\pi x)\,dx.
Usando as primitivas dadas, obtém‐se
\int x\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} +\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}, \quad \int\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi},
\int_{-1}^{-1/2}(x+1)\cos(n\pi x)\,dx =\biggl[\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} +\frac{(x+1)\sin(n\pi x)}{n\pi}\biggr]_{x=-1}^{x=-\tfrac12},
\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\cos(n\pi x)\,dx =\frac{1}{2n\pi}\bigl[\sin(n\pi x)\bigr]_{-\tfrac12}^{\tfrac12} =\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi},
\int_{1/2}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =\biggl[\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} +\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\biggr]_{x=\tfrac12}^{x=1}.
Somando essas três parcelas dá a expressão fechada de a_n.

Passo 4

Analogamente
b_n =\int_{-1}^{-1/2}(x+1)\sin(n\pi x)\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}\tfrac12\sin(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^1x\sin(n\pi x)\,dx,
onde usamos
\int x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} -\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}, \quad \int\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi},
e avaliamos nos mesmos limites. Isso fornece a fórmula fechada para b_n.

Passo 5

Com a_0, a_n e b_n em mãos, a soma parcial de ordem 3 é
S_3f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^3\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr],
isto é, explicitamente,
S_3f(x) =\frac12 +a_1\cos(\pi x)+b_1\sin(\pi x) +a_2\cos(2\pi x)+b_2\sin(2\pi x) +a_3\cos(3\pi x)+b_3\sin(3\pi x),
com cada a_n,b_n dado nas fórmulas do Passo 3 e do Passo 4 para n=1,2,3.

Passo 6

A série completa de Fourier em [-1,1] é
f(x) \sim \frac12 +\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr],
e o gráfico em [-3,3] é apenas a extensão periódica de período 2. No intervalo [-3,-1] e [1,3] desenha‐se repetições do traçado em [-1,1].

Passo 7

Para a função par g que coincide com f em [0,1], só aparecem termos de cosseno. Seus coeficientes são
A_0 =\int_{-1}^1g(x)\,dx =2\int_0^1f(x)\,dx, \quad A_n =\int_{-1}^1g(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_0^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Como f(x)=\tfrac12 em [0,\tfrac12] e f(x)=x em [\tfrac12,1], achamos
\int_0^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx =\int_0^{1/2}\tfrac12\cos(n\pi x)\,dx +\int_{1/2}^1x\cos(n\pi x)\,dx,
usando as mesmas primitivas. Então
g(x) \sim \frac{A_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\pi x),
com A_0 e A_n conforme as integrais acima.

Resposta

(a)
a_0=1, \quad a_n =\Bigl[\tfrac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} +\tfrac{(x+1)\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{-1}^{-\tfrac12} +\frac{\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{n\pi} +\Bigl[\tfrac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} +\tfrac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{\tfrac12}^1,
b_n =\Bigl[\tfrac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} -\tfrac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{-1}^{-\tfrac12} -\frac{\cos(\tfrac{n\pi}{2})-\cos(-\tfrac{n\pi}{2})}{2n\pi} +\Bigl[\tfrac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} -\tfrac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{\tfrac12}^1.
(b)
S_3f(x) =\frac12 +\sum_{n=1}^3\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr].
(c)
f(x)\sim \frac12 +\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr],
com extensão periódica de período 2 repetida em [-3,3].
(d)
A extensão par g tem apenas termos de cosseno:
g(x)\sim \frac{A_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\pi x),
onde
A_0=2\int_0^1f(x)\,dx, \quad A_n=2\int_0^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx,
e essas integrais calculam‐se em [0,\tfrac12] com f(x)=\tfrac12 e em [\tfrac12,1] com f(x)=x.

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