Considere a função
(a) Calcule os coeficientes de Fourier de
, explicitamente, sem usar o sinal de somatório. Lembre que estamos denotando por
a soma parcial de Fourier de
até o índice
.
(c) Escreva a expressão obtida para a série de Fourier de
e esboce seu gráfico no intervalo
.
(d) Determine a série de Fourier da função par
que coincide com
sobre o intervalo
.
Na questão 1 você pode utilizar as primitivas:
onde
e
.
(c) Escreva a expressão obtida para a série de Fourier de
(d) Determine a série de Fourier da função par
Passo 1
O enunciado define em
e pede (a) os coeficientes de Fourier, (b)
, e (d) a série de Fourier da extensão par de
em
. Vamos usar a definição padrão em
com
e escrever
Passo 2
Calculamos primeiro
De fato
Somando vem
portanto
.
Passo 3
Para
dividimos
Usando as primitivas dadas, obtém‐se
Somando essas três parcelas dá a expressão fechada de
.
Passo 4
Analogamente
onde usamos
e avaliamos nos mesmos limites. Isso fornece a fórmula fechada para
.
Passo 5
Com
,
e
em mãos, a soma parcial de ordem 3 é
isto é, explicitamente,
com cada
dado nas fórmulas do Passo 3 e do Passo 4 para
.
Passo 6
A série completa de Fourier em
é
e o gráfico em
é apenas a extensão periódica de período
. No intervalo
e
desenha‐se repetições do traçado em
.
Passo 7
Para a função par
que coincide com
em
, só aparecem termos de cosseno. Seus coeficientes são
Como
em
e
em
, achamos
usando as mesmas primitivas. Então
com
e
conforme as integrais acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)
com extensão periódica de período
repetida em
.
(d)
A extensão par tem apenas termos de cosseno:
(d)
A extensão par
onde
e essas integrais calculam‐se em
com
e em
com
.