Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
x^3+yx+(y^2+ln x) y^prime=0, x>0

Passo 1

A equação dada é x^3 + yx + l(y^2 + ln xr),y'=0, que é uma EDO de primeira ordem e vamos verificar se é exata. Para isso, identificamos as funções M(x,y)=x^3+tfrac yx e N(x,y)=y^2+ln x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para checar exatidão: partial Mpartial y=1x e partial Npartial x=1x. Como coincidem em x>0, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x=M e partial F/partial y=N. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(x^3+tfrac yxr),dx=x^44+yln x+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Fpartial y=ln x+h'(y)=y^2+ln x
Logo h'(y)=y^2, o que implica h(y)=tfracy^33+C1, mas podemos absorver C1 na constante da solução geral.

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y) obtemos a solução implícita da EDO:
x^44+yln x+y^33=C

Resposta

x^44+yln x+y^33=C

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