Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
x cdot d yd x+y=2 x, y(1)=0

Passo 1

Temos a EDO linear de primeira ordem xdydx+y=2x com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação por x (supondo xneq0) para obter a forma padrão
dydx+1xy=2 .

Passo 3

O coeficiente de y é 1/x, então o fator integrante é
mu(x)=e^integral1xdx=e^ln|x|=x .

Passo 4

Multiplicamos a equação pela mu(x)=x e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
xdydx+y=2xLongrightarrowddx(x,y)=2x .

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y=integral2x,dx=x^2+C , onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y e aplicamos a condição inicial:
y=x^2+Cx=x+Cx,
0=y(1)=1+C1implies C=-1 .

Resposta

y = x - \frac{1}{x}

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