Determinar, se existir, a função inversa de cada uma das funções a seguir:
.

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa de f(x)=√(2−x−x²) com x∈[−2,1]. Vamos usar conceitos de injetividade (função um-a-um), intervalo de valores (imagem) e resolver a equação y=√(2−x−x²) para x.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e a imagem de f. O domínio já é dado: x∈[−2,1]. Para achar a imagem, analisamos a expressão de dentro da raiz:
Abrimos a raiz por y≥0:
y²=2−x−x²²²
Isso é um polinômio quadrático em x. Para ver o valor máximo de y², achamos o vértice de −(x²+x−2) (invertendo o sinal para ver mais fácil):
O vértice de x²+x−2 ocorre em x=−b/(2a)=−1/2. Então
ymax²=2−(−1/2)−(−1/2)²=2+0.5−0.25=2.25²²
Logo y varia de 0 até √2.25=3/2. A imagem de f é [0,3/2].

Passo 3

Agora checamos se f é injetora em todo o domínio. A derivada é
f'(x)=12√2−x−x²·(−1−2x)=−1+2x2√2−x−x²²²
Note que 1+2x muda de sinal em x=−1/2, então f cresce em [−2,−1/2] e decresce em [−1/2,1]. Logo f não é injetora em [−2,1] todo. Não existe inversa única para todo o domínio.

Passo 4

Para obter inversas de cada ramo monotônico, resolvemos em geral y²=2−x−x² que dá:
x²+x+(y²−2)=0²²
Aplicando fórmula de Bhaskara:
x=−1±√1−4(y²−2)2=−1±√9−4y²2²²

Passo 5

Em y=0 as soluções são x=1 (ramo decrescente) e x=−2 (ramo crescente). Assim, definimos as inversas por ramo:
Ramo 1 (x∈[−2,−1/2], f crescente):
f1^-1(y)=−1−√9−4y²2, y∈[0,3/2]²
Ramo 2 (x∈[−1/2,1], f decrescente):
f2^-1(y)=−1+√9−4y²2, y∈[0,3/2]²

Resposta

A função f não é inversível em todo o intervalo [−2,1] (não é injetora). Porém, restringindo-a a cada ramo monotônico, suas inversas são:
Para x∈[−2,−1/2] (f crescente):
$$f_1^{-1}(y)=\frac{−1−√{9−4y²}}{2},
\quad y∈[0,3/2].$$
Para x∈[−1/2,1] (f decrescente):
$$f_2^{-1}(y)=\frac{−1+√{9−4y²}}{2},
\quad y∈[0,3/2].$$

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