Determinar, se existir, a função inversa de cada uma das funções a seguir:
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Passo 1
O enunciado pede para achar a inversa de f(x)=√(2−x−x²) com x∈[−2,1]. Vamos usar conceitos de injetividade (função um-a-um), intervalo de valores (imagem) e resolver a equação y=√(2−x−x²) para x.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e a imagem de f. O domínio já é dado: x∈[−2,1]. Para achar a imagem, analisamos a expressão de dentro da raiz:
Abrimos a raiz por y≥0:
Abrimos a raiz por y≥0:
Isso é um polinômio quadrático em x. Para ver o valor máximo de y², achamos o vértice de −(x²+x−2) (invertendo o sinal para ver mais fácil):
O vértice de x²+x−2 ocorre em x=−b/(2a)=−1/2. Então
Logo y varia de 0 até √2.25=3/2. A imagem de f é [0,3/2].
Passo 3
Agora checamos se f é injetora em todo o domínio. A derivada é
Note que 1+2x muda de sinal em x=−1/2, então f cresce em [−2,−1/2] e decresce em [−1/2,1]. Logo f não é injetora em [−2,1] todo. Não existe inversa única para todo o domínio.
Passo 4
Para obter inversas de cada ramo monotônico, resolvemos em geral y²=2−x−x² que dá:
Aplicando fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Em y=0 as soluções são x=1 (ramo decrescente) e x=−2 (ramo crescente). Assim, definimos as inversas por ramo:
Ramo 1 (x∈[−2,−1/2], f crescente):
Ramo 1 (x∈[−2,−1/2], f crescente):
Ramo 2 (x∈[−1/2,1], f decrescente):
Resposta
A função f não é inversível em todo o intervalo [−2,1] (não é injetora). Porém, restringindo-a a cada ramo monotônico, suas inversas são:
Para x∈[−2,−1/2] (f crescente):
$$f_1^{-1}(y)=\frac{−1−√{9−4y²}}{2},
\quad y∈[0,3/2].$$
Para x∈[−1/2,1] (f decrescente):
$$f_2^{-1}(y)=\frac{−1+√{9−4y²}}{2},
\quad y∈[0,3/2].$$