Determine a solução y(t) da equação diferencial
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=e^{-3 t}, \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
\ddot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + 2y(t) = e^{-3t},
com condições iniciais y(0)=0 e \dot{y}(0)=1.
O método consiste em: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular, (iii) somar ambas e (iv) ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
\ddot{y}_h + 3\dot{y}_h + 2y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja solução dá r=-1 e r=-2. Logo
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p do tipo
y_p(t) = A e^{-3t},
pois o termo forçante é e^{-3t} e -3 não é raiz da característica. Calculamos
\dot{y}_p = -3A e^{-3t}, \quad \ddot{y}_p = 9A e^{-3t},
e substituímos em LHS:
\ddot{y}_p + 3\dot{y}_p + 2y_p = \bigl(9A -9A + 2A\bigr)e^{-3t} = 2A e^{-3t}.
Para igualar a e^{-3t} precisamos de 2A=1, ou seja A=\tfrac12. Assim
y_p(t) = \tfrac12 e^{-3t}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \tfrac12 e^{-3t}.
Derivando para usar \dot{y}(0):
\dot{y}(t) = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} - \tfrac32 e^{-3t}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=0\): de \(y(0)=0\) vem \[C_1 + C_2 + \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = -\tfrac12,
e de \dot{y}(0)=1 vem
-\,C_1 - 2C_2 - \tfrac32 = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\,C_1 - 2C_2 = \tfrac52 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + 2C_2 = -\tfrac52.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\tfrac12,\\\ C_1 + 2C_2 = -\tfrac52, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda, obtemos C_2=-2\] e depois \(C_1 = -\tfrac12 - C_2 = \tfrac32.

Resposta

\boxed{y(t) = \tfrac32 e^{-t} \;-\;2e^{-2t} \;+\; \tfrac12 e^{-3t}.}

Exercícios relacionados