Determine a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
\ddot{y}(t)+4 \dot{y}(t)+3 y(t)=3 e^{-t}, \quad y(0)=0, \dot{y}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO a coeficientes constantes
\ddot{y}(t)+4\dot{y}(t)+3y(t)=3e^{-t}
com condições iniciais y(0)=0 e \dot y(0)=1.
Conteúdo: (1) resolver a homogênea, (2) achar um particular via método dos coeficientes a determinar, (3) somar soluções e impor condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
\ddot y+4\dot y+3y=0
usamos o polinômio característico
r^2+4r+3=(r+1)(r+3)=0\;\Longrightarrow\;r=-1,\,-3.
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y_h(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-3t}.

Passo 3

Para um particular de 3e^{-t}, como e^{-t} é solução da homogênea (ressonância), tentamos
y_p(t)=A\,t\,e^{-t}.
Calculamos
y_p'=A(1-t)e^{-t}, \quad y_p''=A(t-2)e^{-t},
e substituímos:
y_p''+4y_p'+3y_p =A e^{-t}\bigl[(t-2)+4(1-t)+3t\bigr] =2A\,e^{-t}.
Queremos 2A\,e^{-t}=3e^{-t}, então A=\tfrac32 e
y_p(t)=\tfrac32\,t\,e^{-t}.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-3t}+\tfrac32\,t\,e^{-t}.
Impondo y(0)=0\): \[C_1+C_2=0.
Calculamos \dot y:
\dot y=-C_1e^{-t}-3C_2e^{-3t}+\tfrac32(1-t)e^{-t},
e em t=0 temos \dot y(0)=1:
-C_1-3C_2+\tfrac32=1 \;\Longrightarrow\; C_1+3C_2=\tfrac12.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1+C_2=0,\\\ C_1+3C_2=\tfrac12, \end{cases}
vem C_2=\tfrac14\] e \(C_1=-\tfrac14.

Resposta

\boxed{% y(t)=-\tfrac14e^{-t}+\tfrac14e^{-3t}+\tfrac32\,t\,e^{-t}. }

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