Considerando o sinal x(t)=t e^{-t} \cos (2 t) u(t), determine:
O valor da integral
\int_{0}^{+\infty} t e^{-t} \cos (2 t) d t

Passo 1

O enunciado considera o sinal x(t)=t e^{-t}\cos(2t)\,u(t) e pede o valor da integral
\int_{0}^{+\infty}t e^{-t}\cos(2t)\,dt.
Esse tipo de integral equivale à transformada de Laplace de t\cos(2t) avaliada em s=1.

Passo 2

Definimos
F(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt =\frac{s}{s^2+4}.

Passo 3

Pela propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s),
temos
\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{s}{s^2+4}\Bigr).
Derivando em s:
\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^2+4}\Bigr) =\frac{(s^2+4)\cdot1 - s\cdot2s}{(s^2+4)^2} =\frac{4-s^2}{(s^2+4)^2},
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\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}(s) =\frac{s^2-4}{(s^2+4)^2}.

Passo 4

Avaliamo em s=1:
\int_{0}^{\infty}t e^{-t}\cos(2t)\,dt =\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}(1) =\frac{1^2-4}{(1^2+4)^2} =\frac{-3}{25}.

Resposta

-\displaystyle \frac{3}{25}

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