Determine a solução das equações diferencias sob especificas condições iniciais (1.5pts):
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução da equação diferencial com condição inicial dada. Informações fornecidas:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
A tarefa é encontrar a funçãoque satisfaça a equação diferencial para todos os do domínio considerado e que, ao substituir , resulte em .
Passo 2
Entendimento do que está sendo pedido (sem resolver ainda):
- A equação relaciona a derivada de
com respeito a à expressão . Ou seja, a taxa de variação de é conhecida em função de . - Para encontrar
precisamos “desfazer” a derivada — isto é, integrar a expressão que aparece no lado direito. - Ao integrar surgirá uma constante arbitrária (constante de integração). A condição inicial
serve exatamente para determinar essa constante.
Passo 3
Transformação básica e ideia do método (passo-a-passo):
- A expressão
pode ser vista como uma igualdade de derivadas. Podemos tratar isso como
e integrar ambos os lados em relação a
(ou integrar o lado esquerdo em relação a
e o direito em
; aqui fazemos a integração direta).
Passo 4
Lembrete rápido sobre integração que vamos usar:
- A integral indefinida de uma função
é uma família de funções tal que . A constante representa a infinidade de possíveis antiderivadas. - Regra que usaremos: para
,
No nosso caso
, então a integral de
é
mais uma constante.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
- Integrando a igualdade
obtemos
- Calculando cada integral:
- Podemos agrupar as constantes em uma única constante
. Assim obtemos a forma geral da solução:
Passo 6
Aplicando a condição inicial para determinar
:
- A condição é
. Substituindo na expressão geral:
- Como
, segue que .
Passo 7
Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial:
- Substituindo
na solução geral obtemos
Passo 8
Verificação rápida (importante em prova):
- Derivando a solução encontrada:
o que coincide com o lado direito da equação diferencial.
- E
, satisfa zendo a condição inicial. Portanto a solução está correta.