Determine a solução das equações diferencias sob especificas condições iniciais (1.5pts):
\frac{d y}{d x}=x^{2}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução da equação diferencial com condição inicial dada. Informações fornecidas:
  • A equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=x^{2}.
  • A condição inicial: y(0)=1.
    A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todos os x do domínio considerado e que, ao substituir x=0, resulte em y(0)=1.

Passo 2

Entendimento do que está sendo pedido (sem resolver ainda):
  • A equação relaciona a derivada de y com respeito a x à expressão x^{2}. Ou seja, a taxa de variação de y é conhecida em função de x.
  • Para encontrar y(x) precisamos “desfazer” a derivada — isto é, integrar a expressão que aparece no lado direito.
  • Ao integrar surgirá uma constante arbitrária (constante de integração). A condição inicial y(0)=1 serve exatamente para determinar essa constante.

Passo 3

Transformação básica e ideia do método (passo-a-passo):
  • A expressão \dfrac{dy}{dx}=x^{2} pode ser vista como uma igualdade de derivadas. Podemos tratar isso como
dy = x^{2}\,dx,
e integrar ambos os lados em relação a x (ou integrar o lado esquerdo em relação a y e o direito em x; aqui fazemos a integração direta).

Passo 4

Lembrete rápido sobre integração que vamos usar:
  • A integral indefinida de uma função f(x) é uma família de funções F(x)+C tal que F'(x)=f(x). A constante C representa a infinidade de possíveis antiderivadas.
  • Regra que usaremos: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=2, então a integral de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3} mais uma constante.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
  • Integrando a igualdade dy = x^{2}\,dx obtemos
\int dy = \int x^{2}\,dx.
  • Calculando cada integral:
\int dy = y + C_{1}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C_{2}.
  • Podemos agrupar as constantes em uma única constante C. Assim obtemos a forma geral da solução:
y(x)=\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 6

Aplicando a condição inicial para determinar C:
  • A condição é y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\frac{0^{3}}{3}+C = 0 + C = C.
  • Como y(0)=1, segue que C=1.

Passo 7

Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial:
  • Substituindo C=1 na solução geral obtemos
y(x)=\frac{x^{3}}{3}+1.

Passo 8

Verificação rápida (importante em prova):
  • Derivando a solução encontrada:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+1\right)=\frac{3x^{2}}{3}+0=x^{2},
o que coincide com o lado direito da equação diferencial.
  • E y(0)=\dfrac{0^{3}}{3}+1=1, satisfa zendo a condição inicial. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+1

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