Resolva as equações diferencias (1.0pt):
\frac{d y}{d x}=4 y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=4y
e pede para encontrar a solução y(x). Informações úteis fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  • Não foi dada condição inicial, então busca-se a solução geral (com constante arbitrária).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Escolha do método: esta equação pode ser resolvida por separação de variáveis ou tratada como uma equação linear de primeira ordem homogênea. Vou usar separação de variáveis porque é direto e rápido: o lado direito depende apenas de y, o que permite rearranjar para integrar cada variável em um lado.

Passo 3

Rearranjamento por separação de variáveis. Partindo de
\frac{dy}{dx}=4y,
se y\neq0 podemos dividir por y e multiplicar por dx para obter
\frac{1}{y}\,dy = 4\,dx.
(Observação: a possibilidade y\equiv0 deve ser verificada separadamente como solução candidata.)

Passo 4

Integração dos dois lados. Integramos em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 4\,dx.
As integrais dão
\ln|y| = 4x + C,
onde C é a constante de integração real. Explanação: a integral de 1/y é \ln|y| (o valor absoluto aparece porque a logaritmização é definida para argumentos positivos).

Passo 5

Isolando y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{4x+C} = e^{C}e^{4x}.
Chamando A=e^{C}>0 obtemos |y|=A e^{4x}, ou seja y=\pm A e^{4x}. Podemos então agrupar o sinal e a constante numa única constante real C (que pode ser positiva, negativa ou zero), escrevendo a solução geral como
y = C e^{4x},
com C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Incluindo a solução zero e verificação. A forma y=C e^{4x} já contém a solução trivial y\equiv0 (quando C=0). Verificação rápida: derivando y=C e^{4x} tem-se
\frac{dy}{dx}=4C e^{4x}=4y,
logo satisfaz a equação original para qualquer C\in\mathbb{R}.

Passo 7

Exemplo prático (ajuda didática). Se houvesse uma condição inicial, por exemplo y(0)=2, basta substituir x=0 e y=2:
2 = C e^{0}\Rightarrow C=2,
e a solução particular seria y=2e^{4x}. Dica para prova: sempre verifique se precisa da solução geral ou de uma particular com condição inicial; ao integrar lembre-se do \ln|y| e de transformar e^{C} numa constante arbitrária.

Resposta

y = C e^{4x},\\ C\in\mathbb{R}

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