Resolva as equações diferencias (1.0pt):
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução
. Informações úteis fornecidas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
- Não foi dada condição inicial, então busca-se a solução geral (com constante arbitrária).
- Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Escolha do método: esta equação pode ser resolvida por separação de variáveis ou tratada como uma equação linear de primeira ordem homogênea. Vou usar separação de variáveis porque é direto e rápido: o lado direito depende apenas de
, o que permite rearranjar para integrar cada variável em um lado.
Passo 3
Rearranjamento por separação de variáveis. Partindo de
se
podemos dividir por
e multiplicar por
para obter
(Observação: a possibilidade
deve ser verificada separadamente como solução candidata.)
Passo 4
Integração dos dois lados. Integramos em relação às suas variáveis:
As integrais dão
onde
é a constante de integração real. Explanação: a integral de
é
(o valor absoluto aparece porque a logaritmização é definida para argumentos positivos).
Passo 5
Isolando
. Exponenciando ambos os lados:
Chamando
obtemos
, ou seja
. Podemos então agrupar o sinal e a constante numa única constante real
(que pode ser positiva, negativa ou zero), escrevendo a solução geral como
com
.
Passo 6
Incluindo a solução zero e verificação. A forma
já contém a solução trivial
(quando
). Verificação rápida: derivando
tem-se
logo satisfaz a equação original para qualquer
.
Passo 7
Exemplo prático (ajuda didática). Se houvesse uma condição inicial, por exemplo
, basta substituir
e
:
e a solução particular seria
. Dica para prova: sempre verifique se precisa da solução geral ou de uma particular com condição inicial; ao integrar lembre-se do
e de transformar
numa constante arbitrária.