Resolva as equações diferencias (1.0pt):
\frac{d y}{d x}=k y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=k\,y,
onde y é função de x e k é um parâmetro (constante) que aparece na equação. A pergunta implícita é: obter a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, todas as funções y(x) que satisfazem a equação).

Passo 2

Observação importante sobre soluções triviais: verificar se y(x)\equiv 0 é solução. Substituindo y=0 na equação obtemos dy/dx=0 à direita e à esquerda também 0, então
y(x)\equiv 0
é uma solução válida. Essa solução será incluída na forma geral que vamos encontrar, mas é bom tê‑la em mente desde já.

Passo 3

Escolhendo um método simples e direto: separação de variáveis. A ideia é colocar todos os termos que dependem de y num lado e os que dependem de x no outro lado. Partindo de
\frac{dy}{dx}=k\,y,
assumindo provisoriamente y\neq 0, dividimos por y e multiplicamos por dx para obter
\frac{1}{y}\,dy = k\,dx.
Explicação do passo: dividir por y só é permitido quando y não é zero no ponto considerado; como já vimos, o caso y\equiv0 é solução à parte. Para qualquer solução não identicamente zero, essa manipulação é válida em intervalos onde y não muda de sinal.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integramos a expressão anterior em relação a x (no lado esquerdo a integração é em y via a variável y):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx.
Calcule as integrais conhecidas:
\ln|y| = kx + C,
onde C é a constante de integração. Explicação: \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1 e \int k\,dx = kx + C_2; juntando constantes obtemos uma única constante C.

Passo 5

Isolar y exponenciando ambos os lados. Aplicando exponencial em ambos os membros:
|y| = e^{kx + C} = e^{C}e^{kx}.
Escrevendo A=e^{C}>0 temos |y|=A e^{kx}. Isso implica que y pode ser y= A e^{kx} ou y=-A e^{kx}. Unificando os sinais numa constante real arbitrária C_1 (podendo ser positiva, negativa ou zero), escrevemos a solução geral como
y(x)=C_1 e^{kx},
onde C_1\in\mathbb{R}. Observação: o caso C_1=0 recupera a solução trivial y\equiv0.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: para qualquer constante C_1 a função y(x)=C_1 e^{kx} satisfaz
\frac{dy}{dx}=C_1 k e^{kx}=k\,(C_1 e^{kx})=k\,y,
logo é solução. Se for dada uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, a constante C_1 é determinada por
C_1 = y_0 e^{-k x_0}.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se k=2 e y(0)=3, então C_1=3 e y(x)=3e^{2x}.

Passo 7

Caso particular k=0: a equação fica \dfrac{dy}{dx}=0, que implica y constante. A fórmula geral dá y=C_1 e^{0\cdot x}=C_1, portanto cobre esse caso sem problemas.

Resposta

y(x)=C\,e^{k x}, onde C\in\mathbb{R}.

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