Resolva as equações diferencias (1.0pt):
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é função de
e
é um parâmetro (constante) que aparece na equação. A pergunta implícita é: obter a solução geral
dessa equação (ou seja, todas as funções
que satisfazem a equação).
Passo 2
Observação importante sobre soluções triviais: verificar se
é solução. Substituindo
na equação obtemos
à direita e à esquerda também
, então
é uma solução válida. Essa solução será incluída na forma geral que vamos encontrar, mas é bom tê‑la em mente desde já.
Passo 3
Escolhendo um método simples e direto: separação de variáveis. A ideia é colocar todos os termos que dependem de
num lado e os que dependem de
no outro lado. Partindo de
assumindo provisoriamente
, dividimos por
e multiplicamos por
para obter
Explicação do passo: dividir por
só é permitido quando
não é zero no ponto considerado; como já vimos, o caso
é solução à parte. Para qualquer solução não identicamente zero, essa manipulação é válida em intervalos onde
não muda de sinal.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integramos a expressão anterior em relação a
(no lado esquerdo a integração é em
via a variável
):
Calcule as integrais conhecidas:
onde
é a constante de integração. Explicação:
e
; juntando constantes obtemos uma única constante
.
Passo 5
Isolar
exponenciando ambos os lados. Aplicando exponencial em ambos os membros:
Escrevendo
temos
. Isso implica que
pode ser
ou
. Unificando os sinais numa constante real arbitrária
(podendo ser positiva, negativa ou zero), escrevemos a solução geral como
onde
. Observação: o caso
recupera a solução trivial
.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: para qualquer constante
a função
satisfaz
logo é solução. Se for dada uma condição inicial do tipo
, a constante
é determinada por
Exemplo concreto para fixar a ideia: se
e
, então
e
.
Passo 7
Caso particular
: a equação fica
, que implica
constante. A fórmula geral dá
, portanto cobre esse caso sem problemas.