Determine y[n] solução das equações:
c) y[n+2]+4 y[n+1]+4 y[n]=0, y[0]=100, y[1]=-100

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a sequência y[n+2] + 4,y[n+1] + 4,y[n] = 0 que satisfaz a recorrência de segunda ordem
com as condições iniciais e .
Conteúdo: equações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica pra resolver.

Passo 2

Primeiro a gente monta a equação característica associada à recorrência. Substituímos r^n+2 + 4,r^n+1 + 4,r^n = 0 por r^2 + 4r + 4 = 0 , então:
Dividindo por (supondo ), vem

Passo 3

Agora resolvemos r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot42 = -4 pm raiz16-162 = -42 = -2 . Isso é um quadrático que dá
Note que a raiz é de multiplicidade 2 (duas vezes).

Passo 4

Como a raiz y[n] = (A + B,n),(-2)^n, é dupla, a forma geral da solução é
onde e são constantes que a gente vai achar com as condições iniciais.

Passo 5

Usando y[0] = (A + Bcdot0),(-2)^0 = A = 100 :
y[1] = (A + Bcdot1),(-2)^1 = -(A + B),2 = -100 Longrightarrow A + B = 50
Usando :
Como , então e daí .

Resposta

boxedy[n] = l(100 - 50,nr),(-2)^n

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