Um sistema tem entrada x[n] e saída y[n]. Use a função de transferência para determinar a resposta ao impulso dos sistemas:
a) x[n]=de

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos um sistema LTI com entrada
x[n]=de
e saída
y[n]=de
O que querem é achar a resposta ao impulso Z^-1!11-alpha z^-1 =alpha^n,u[n] usando a função de transferência.
Conteúdo envolvido: transformada Z de sequências de deltas, função de transferência , fatoração de polinômios em , frações parciais e transformada Z inversa. Vamos precisar saber que
e que

Passo 2

Primeiro vamos achar X(z) = Zde e Y(z) = Zde a partir das somas de deltas:

Passo 3

A função de transferência é
H(z)=Y(z)X(z) =1-tfrac34,z^-11+tfrac14,z^-1-tfrac18,z^-2

Passo 4

Vamos fatorar o denominador em termos de 1+tfrac14,z^-1-tfrac18,z^-2=0 . O polinômio é
z^2+tfrac14,z-tfrac18=0 Longrightarrow 8z^2+2z-1=0
Multiplicando por z=-2pmraiz4+3216=-2pm616 ;Longrightarrow; z=tfrac14ou z=-tfrac12 :
1+tfrac14,z^-1-tfrac18,z^-2 =(1-tfrac14,z^-1)(1+ tfrac12,z^-1)
As raízes são
Então

Passo 5

Agora escrevemos 1-tfrac34,z^-1(1-tfrac14,z^-1)(1+ tfrac12,z^-1) =A1+ tfrac12,z^-1+B1-tfrac14,z^-1 em frações parciais:
1-tfrac34,z^-1 =Al(1-tfrac14,z^-1r) +Bl(1+tfrac12,z^-1r)
Multiplicando pelos denominadores:
A+B=1, -tfrac14,A+tfrac12,B=-tfrac34
Igualando coeficientes de A=tfrac53, B=-tfrac23 e H(z)=tfrac531+ tfrac12,z^-1 -tfrac231-tfrac14,z^-1 :
Resolvendo:
Logo

Passo 6

Basta inverter a transformada Z usando
h[n] =53,(-tfrac12)^n,u[n] -23,(+tfrac14)^n,u[n] e notar que
.
Assim

Resposta

boxed h[n] =53,l(-tfrac12r)^n,u[n] -23,l(tfrac14r)^n,u[n]

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