Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
b) y[n]=x[n]-x[n-2]+x[n-4]-x[n-6]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas pros sistemas descritos por equações a diferenças:
(i) a função de transferência H(z), que é basicamente a relação entre a saída Y(z) e a entrada X(z) no domínio z;
(ii) a resposta ao impulso h[n], que é o comportamento do sistema quando aplicamos um impulso de.
O conteúdo é Transformada de Z e Sistemas LTI (linhas temporais invariantes). Para resolver, a gente vai precisar:
  • Saber como aplicar a Transformada de Z em cada termo x[n-k];
  • Usar a definição H(z)=Y(z)/X(z);
  • Entender que um termo z^-k na função de transferência vira um atraso de k amostras, ou seja, de na resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Z na equação
y[n] = x[n] - x[n-2] + x[n-4] - x[n-6]
Lembrando que a Transformada de Z de x[n-k] é X(z),z^-k. Então:
Y(z) = X(z) - X(z),z^-2 + X(z),z^-4 - X(z),z^-6

Passo 3

Agora a gente define a função de transferência:
H(z) = Y(z)X(z)
Substituindo o que achamos:
H(z) = 1 - z^-2 + z^-4 - z^-6

Passo 4

Beleza, essa é a H(z). Para achar a resposta ao impulso h[n], lembramos que a transformada inversa de z^-k é de. Então, se
H(z) = 1 - z^-2 + z^-4 - z^-6,
a resposta no tempo (impulso) é
h[n] = de
Ou seja, o sistema só responde nessas amostras específicas.

Resposta

(i) Função de transferência:
H(z) = 1 - z^-2 + z^-4 - z^-6
(ii) Resposta ao impulso:
h[n] = de

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