Determine a solução geral de cada cquação diferencias homogênca com cocficientes constantes.
(b) ( 0.5 pontos) y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = 0.
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a função desconhecida y de uma variável (vou chamar de x).
  • Aparecem derivadas de ordem dois e um: y'' e y'.
  • Os coeficientes são constantes: -4 no termo de y' e 4 no termo de y.
  • A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
  • O objetivo é achar a solução geral, isto é, a família de todas as soluções (normalmente com constantes arbitrárias).

Passo 2

Motivação do método (por que tentar certo tipo de solução?)
Uma técnica padrão para equações desse tipo é procurar soluções da forma
y = e^{rx},
com r um número a determinar. Vou explicar por que essa tentativa faz sentido: ao derivar um exponencial temos sempre um fator r que sai multiplicando a própria função,
\frac{d}{dx}e^{rx} = r e^{rx},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx},
portanto, quando substituímos y=e^{rx} na equação diferencial, todas as parcelas ficam com o fator comum e^{rx} e sobra uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação característica.

Passo 3

Formação da equação característica
Substituindo y=e^{rx} e suas derivadas na equação,
y'' - 4y' + 4y = r^2 e^{rx} - 4 r e^{rx} + 4 e^{rx}.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 4 = 0.

Passo 4

Resolução da equação característica (passo a passo)
A equação característica é um polinômio quadrático. Aplicando a fórmula quadrática para ar^2+br+c=0 com a=1, b=-4, c=4:
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-16}}{2}.
Calculando o discriminante:
\Delta = 16 - 16 = 0.
Como o discriminante é 0, existe uma raiz real dupla. Assim
r = \frac{4}{2} = 2,
com multiplicidade 2.

Passo 5

O que significa raiz dupla e como obter as soluções independentes
Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções linearmente independentes da equação diferencial são
y_1 = e^{rx}\quad\text{e}\quad y_2 = x e^{rx}.
(Em geral, para multiplicidade m as soluções são e^{rx}, x e^{rx}, x^2 e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.)
No nosso caso, com r=2, obtemos
y_1 = e^{2x},\qquad y_2 = x e^{2x}.

Passo 6

Verificação explícita de que y_2 = x e^{2x} satisfaz a equação (passo a passo)
Calculemos derivadas de y_2:
y_2 = x e^{2x},
y_2' = \frac{d}{dx}(x e^{2x}) = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2 e^{2x} = (1+2x)e^{2x},
y_2'' = \frac{d}{dx}\big((1+2x)e^{2x}\big) = 2 e^{2x} + (1+2x)\cdot 2 e^{2x} = (2 + 2 + 4x)e^{2x} = (4+4x)e^{2x}.
Agora substituímos em y'' - 4y' + 4y:
y_2'' - 4y_2' + 4y_2 = (4+4x)e^{2x} - 4(1+2x)e^{2x} + 4(x)e^{2x}.
Fatorando e^{2x}:
\big(4+4x -4 -8x +4x\big)e^{2x} = 0\cdot e^{2x} = 0.
Portanto y_2 satisfaz a equação. Já sabemos que y_1=e^{2x} também satisfaz (é o caso básico y=e^{rx}). As duas são linearmente independentes, logo geram a solução geral.

Passo 7

Escrevendo a solução geral e interpretação das constantes
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções independentes:
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se houverem. Podemos também escrever de forma factorizada:
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{2x}.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{2x}

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