Determine a solução geral de cada cquação diferencias homogênca com cocficientes constantes.
(b) ( 0.5 pontos)
.
(b) ( 0.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve a função desconhecida
de uma variável (vou chamar de ). - Aparecem derivadas de ordem dois e um:
e . - Os coeficientes são constantes:
no termo de e no termo de . - A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
- O objetivo é achar a solução geral, isto é, a família de todas as soluções (normalmente com constantes arbitrárias).
Passo 2
Motivação do método (por que tentar certo tipo de solução?)
Uma técnica padrão para equações desse tipo é procurar soluções da forma
Uma técnica padrão para equações desse tipo é procurar soluções da forma
com
um número a determinar. Vou explicar por que essa tentativa faz sentido: ao derivar um exponencial temos sempre um fator
que sai multiplicando a própria função,
portanto, quando substituímos
na equação diferencial, todas as parcelas ficam com o fator comum
e sobra uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação característica.
Passo 3
Formação da equação característica
Substituindo e suas derivadas na equação,
Substituindo
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica
Passo 4
Resolução da equação característica (passo a passo)
A equação característica é um polinômio quadrático. Aplicando a fórmula quadrática para com
,
,
:
A equação característica é um polinômio quadrático. Aplicando a fórmula quadrática para
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é
, existe uma raiz real dupla. Assim
com multiplicidade
.
Passo 5
O que significa raiz dupla e como obter as soluções independentes
Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade
, as duas soluções linearmente independentes da equação diferencial são
Quando a equação característica tem uma raiz real
(Em geral, para multiplicidade
as soluções são
.)
No nosso caso, com
, obtemos
Passo 6
Verificação explícita de que
satisfaz a equação (passo a passo)
Calculemos derivadas de :
Calculemos derivadas de
Agora substituímos em
:
Fatorando
:
Portanto
satisfaz a equação. Já sabemos que
também satisfaz (é o caso básico
). As duas são linearmente independentes, logo geram a solução geral.
Passo 7
Escrevendo a solução geral e interpretação das constantes
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções independentes:
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear das duas soluções independentes:
onde
e
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se houverem. Podemos também escrever de forma factorizada: