Determine a solução geral de cada cquação diferencias homogênca com cocficientes constantes.
(a) ( 0.5 pontos)
.
(a) ( 0.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea com coeficientes constantes
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem; não há condições iniciais fornecidas. A tarefa é encontrar a família de soluções gerais, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia que vamos usar (passo-a-passo): tentar uma solução da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explicação didática: funções exponenciais têm a propriedade de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Aqui
é a variável independente (por exemplo tempo) e
é a taxa/exponencial que procuramos.
Passo 3
Calculemos as derivadas para a proposta
:
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial (sempre lembrar de colocar cada expressão em ambiente matemático):
Passo 4
Fatoramos
(nunca é zero), obtendo a equação característica em
:
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la fatorando: procuramos dois números cuja soma é
(com sinal invertido na fórmula) e cujo produto é
. Observamos que
e
satisfazem isso, então
Portanto as raízes são
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração). Aqui
normalmente, a menos que o problema peça outra coisa.
Passo 6
Aplicando
e
obtemos a solução específica para nossa equação:
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 7
Verificação rápida (dá segurança na hora da prova): calculemos
e
e substituímos para confirmar que a igualdade vale:
Substituindo em
e agrupando termos em
e
:
Confere: a solução satisfaz a equação.