Determine a solução geral de cada cquação diferencias homogênca com cocficientes constantes.
(a) ( 0.5 pontos) y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0.
Informações dadas: a equação é linear, homogênea e de segunda ordem; não há condições iniciais fornecidas. A tarefa é encontrar a família de soluções gerais, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia que vamos usar (passo-a-passo): tentar uma solução da forma \displaystyle y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explicação didática: funções exponenciais têm a propriedade de que suas derivadas são múltiplos delas mesmas, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Aqui x é a variável independente (por exemplo tempo) e r é a taxa/exponencial que procuramos.

Passo 3

Calculemos as derivadas para a proposta \displaystyle y=e^{rx}:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial (sempre lembrar de colocar cada expressão em ambiente matemático):
r^2 e^{rx} - 5 r e^{rx} + 6 e^{rx} = 0.

Passo 4

Fatoramos e^{rx} (nunca é zero), obtendo a equação característica em r:
r^2 - 5r + 6 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la fatorando: procuramos dois números cuja soma é -5 (com sinal invertido na fórmula) e cujo produto é 6. Observamos que -2 e -3 satisfazem isso, então
r^2 -5r +6 = (r-2)(r-3).
Portanto as raízes são
r_1 = 2,\qquad r_2 = 3.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (constantes de integração). Aqui C_1,C_2\in\mathbb{R} normalmente, a menos que o problema peça outra coisa.

Passo 6

Aplicando r_1=2 e r_2=3 obtemos a solução específica para nossa equação:
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 7

Verificação rápida (dá segurança na hora da prova): calculemos y' e y'' e substituímos para confirmar que a igualdade vale:
y' = 2C_1 e^{2x} + 3C_2 e^{3x},
y'' = 4C_1 e^{2x} + 9C_2 e^{3x}.
Substituindo em y''-5y'+6y e agrupando termos em e^{2x} e e^{3x}:
(4-10+6)C_1 e^{2x} + (9-15+6)C_2 e^{3x} = 0\cdot C_1 e^{2x} + 0\cdot C_2 e^{3x} = 0.
Confere: a solução satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}

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