\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{1 / t}{1 / t}, \mathbf{X}(1)=\binom{2}{-1}

Passo 1

O enunciado dá o sistema de ODE linear não-homogêneo
\mathbf X'(t)=A\,\mathbf X(t)+\mathbf g(t),
com
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}, \quad \mathbf g(t)=\begin{pmatrix}1/t\\[3pt]1/t\end{pmatrix},
e condição inicial \mathbf X(1)=(2,\,-1)^{T}.
O conteúdo é resolução de sistema linear com coeficientes constantes usando matriz fundamental e variação de constantes.]

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo \mathbf X' = A\mathbf X.
Repare que
A^{2} =\begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix},
ou seja, A é nilpotente de índice 2. Logo
e^{A\tau} =I + A\,\tau,
para todo \tau.]

Passo 3

Pela variação de constantes, a solução geral do sistema não-homogêneo com condição em t=1 é
\mathbf X(t) =e^{A(t-1)}\mathbf X(1) +\int_{1}^{t}e^{A\,(t-s)}\,\mathbf g(s)\,ds.

Passo 4

Calculamos o integrando. Como e^{A(t-s)}=I + A\,(t-s),
e^{A(t-s)}\,\mathbf g(s) =\Bigl(I + A\,(t-s)\Bigr)\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix} + (t-s)\,A\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix}.
Mas
A\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot\frac1s -1\cdot\frac1s\\[3pt]1\cdot\frac1s -1\cdot\frac1s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix},
portanto
e^{A(t-s)}\,\mathbf g(s) =\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix}.
Então o termo de variação de constantes fica
\int_{1}^{t}e^{A(t-s)}\,\mathbf g(s)\,ds =\int_{1}^{t}\begin{pmatrix}1/s\\[3pt]1/s\end{pmatrix}ds =\begin{pmatrix}\ln t\\[3pt]\ln t\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a parte homogênea com a condição inicial:
e^{A(t-1)}\mathbf X(1) =\bigl(I + A\,(t-1)\bigr)\begin{pmatrix}2\\[3pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[3pt]-1\end{pmatrix} +(t-1)\,A\begin{pmatrix}2\\[3pt]-1\end{pmatrix}.
Calculando
A\begin{pmatrix}2\\[3pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 -(-1)\\[3pt]2 -(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[3pt]3\end{pmatrix},
logo
e^{A(t-1)}\mathbf X(1) =\begin{pmatrix}2\\[3pt]-1\end{pmatrix} +3(t-1)\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+3(t-1)\\[3pt]-1+3(t-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3t-1\\[3pt]3t-4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Somando a parte homogênea e o termo não-homogêneo, obtemos a solução geral que satisfaz \mathbf X(1)=(2,-1)^{T}:
\mathbf X(t) =\begin{pmatrix}3t-1\\[3pt]3t-4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\ln t\\[3pt]\ln t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3t-1+\ln t\\[3pt]3t-4+\ln t\end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{\mathbf X(t)=\begin{pmatrix}3t-1+\ln t\\[3pt]3t-4+\ln t\end{pmatrix}.}]

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