Determine a solução geral de cada uma das equações abaixo:
d^2 yd t^2-d yd t+2 y=0.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes d^2ydt^2 - dydt + 2y = 0. Vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
r^2 - r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^2 - r + 2 = 0 pelo discriminante: De. Assim, as raízes são complexas:
r = 1 pm iraiz72

Passo 4

Quando as raízes são r = alpha pm ibeta com alpha = tfrac12 e beta = tfracraiz72, a solução geral é dada por:
y(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)

Resposta

y(t) = e^tfract2l(C1cosl(tfracraiz72tr) + C2sinl(tfracraiz72tr)r)

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