A variável independente é x e a dependente é y=y(x).
Há fatores multiplicativos \left(1+x^{2}\right) no lado de x e y(y^{3}-1) no lado de y.
Observação útil (informação, não resolução completa): se y\equiv 0 ou y^{3}-1\equiv 0 então o lado direito é zero, o que produz soluções constantes possíveis (estas soluções especiais serão tratadas depois).
Passo 2
Vamos separar variáveis — isto é, escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro. Antes de dividir, notar que a separação exige dividir por y e por y^{3}-1, portanto neste processo assumimos temporariamente y\neq 0 e y^{3}\neq 1. (As soluções constantes y\equiv 0 e y\equiv 1 serão mencionadas separadamente.)
A equação original é
3(1+x^{2})\frac{dy}{dx}=2x\,y(y^{3}-1).
Dividindo ambos os lados por 3(1+x^{2})\,y(y^{3}-1) obtemos
Da última equação A=-1\]. Da terceira \(D=B. Substituindo na segunda,
B-C+B=0\Rightarrow 2B-C=0\Rightarrow C=2B. Substituindo tudo na primeira: -1+B+2B=0\Rightarrow 3B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{3}. Então C=\tfrac{2}{3} e D=\tfrac{1}{3}.
onde K é constante arbitrária (reparametrizada a partir de C). Lembrar que esta solução veio assumindo y\neq 0 e y^{3}\neq 1.
Além disso, como observado em Passo 1, existem soluções singulares constantes obtidas antes de dividir:
y(x)\equiv 0\quad\text{e}\quad y(x)\equiv 1
são também soluções da equação original (a segunda corresponde ao caso y^{3}-1=0).
Resposta
y(x)=\left(1-K(1+x^{2})\right)^{-1/3}, onde K é constante arbitrária (solução geral implícita/Explícita para y\neq0 e y^{3}\neq1).\n y(x)\equiv 0 (solução constante)\n y(x)\equiv 1 (solução constante)