Determine a solução geral para cada uma das equações a seguir.
3\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=2 x y\left(y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
3\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}=2x\,y\left(y^{3}-1\right),
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável independente é x e a dependente é y=y(x).
  • Há fatores multiplicativos \left(1+x^{2}\right) no lado de x e y(y^{3}-1) no lado de y.
  • Observação útil (informação, não resolução completa): se y\equiv 0 ou y^{3}-1\equiv 0 então o lado direito é zero, o que produz soluções constantes possíveis (estas soluções especiais serão tratadas depois).

Passo 2

Vamos separar variáveis — isto é, escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro. Antes de dividir, notar que a separação exige dividir por y e por y^{3}-1, portanto neste processo assumimos temporariamente y\neq 0 e y^{3}\neq 1. (As soluções constantes y\equiv 0 e y\equiv 1 serão mencionadas separadamente.)
A equação original é
3(1+x^{2})\frac{dy}{dx}=2x\,y(y^{3}-1).
Dividindo ambos os lados por 3(1+x^{2})\,y(y^{3}-1) obtemos
\frac{1}{y(y^{3}-1)}\,dy=\frac{2x}{3(1+x^{2})}\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado. O lado esquerdo exige decomposição em frações parciais:
precisamos integrar
\int \frac{1}{y(y^{3}-1)}\,dy=\int \frac{1}{y(y-1)(y^{2}+y+1)}\,dy.
Procuramos uma decomposição do tipo
\frac{1}{y(y-1)(y^{2}+y+1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}+\frac{Cy+D}{y^{2}+y+1}.
Multiplicando ambos os lados por y(y-1)(y^{2}+y+1)\) vem \[1=A(y-1)(y^{2}+y+1)+B\,y(y^{2}+y+1)+(Cy+D)\,y(y-1).
Como (y-1)(y^{2}+y+1)=y^{3}-1, expandindo e agrupando termos em potências de y obtemos o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] B-C+D=0,\\[4pt] B-D=0,\\[4pt] - A=1. \end{cases}
Da última equação A=-1\]. Da terceira \(D=B. Substituindo na segunda,
B-C+B=0\Rightarrow 2B-C=0\Rightarrow C=2B. Substituindo tudo na primeira:
-1+B+2B=0\Rightarrow 3B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{3}. Então C=\tfrac{2}{3} e D=\tfrac{1}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{y(y^{3}-1)}=-\frac{1}{y}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}.]

Passo 4

Integramos o lado esquerdo termo a termo:
\int\frac{1}{y(y^{3}-1)}\,dy=\int\!\left(-\frac{1}{y}+\frac{1}{3}\frac{1}{y-1}+\frac{1}{3}\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}\right)dy.
As integrais são diretas:
\int -\frac{1}{y}\,dy=-\ln|y|,
\int \frac{1}{3}\frac{1}{y-1}\,dy=\frac{1}{3}\ln|y-1|,
e como \dfrac{d}{dy}(y^{2}+y+1)=2y+1,
\int \frac{1}{3}\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}\,dy=\frac{1}{3}\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr).
Somando,
\int\frac{1}{y(y^{3}-1)}\,dy=-\ln|y|+\frac{1}{3}\ln|y-1|+\frac{1}{3}\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr)+C_1.

Passo 5

Integramos o lado direito:
\int \frac{2x}{3(1+x^{2})}\,dx=\frac{1}{3}\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{3}\ln(1+x^{2})+C_2.
Igualando as duas primitivas (absorvendo C_1-C_2 em uma constante arbitrária C) obtemos
-\ln|y|+\frac{1}{3}\ln|y-1|+\frac{1}{3}\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr)=\frac{1}{3}\ln(1+x^{2})+C.
Multiplicando por 3,
-3\ln|y|+\ln|y-1|+\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr)=\ln(1+x^{2})+C',
onde C'=3C. Usando propriedades dos logaritmos e a identidade (y-1)(y^{2}+y+1)=y^{3}-1,
\ln\left|\frac{y^{3}-1}{y^{3}}\right|=\ln(1+x^{2})+C'.
Exponenciando e absorvendo o fator de sinal na constante arbitrária K, obtemos a forma implícita simples
\frac{y^{3}-1}{y^{3}}=K\,(1+x^{2}),
onde K é constante arbitrária real.

Passo 6

Desenvolvendo a igualdade anterior:
1-\frac{1}{y^{3}}=K(1+x^{2})\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y^{3}}=1-K(1+x^{2}).
Desde que o denominador não se anule, isolamos y:
y^{3}=\frac{1}{\,1-K(1+x^{2})\,}\quad\Rightarrow\quad y(x)=\left(1-K(1+x^{2})\right)^{-1/3},
onde K é constante arbitrária (reparametrizada a partir de C). Lembrar que esta solução veio assumindo y\neq 0 e y^{3}\neq 1.
Além disso, como observado em Passo 1, existem soluções singulares constantes obtidas antes de dividir:
y(x)\equiv 0\quad\text{e}\quad y(x)\equiv 1
são também soluções da equação original (a segunda corresponde ao caso y^{3}-1=0).

Resposta

y(x)=\left(1-K(1+x^{2})\right)^{-1/3}, onde K é constante arbitrária (solução geral implícita/Explícita para y\neq0 e y^{3}\neq1).\n
y(x)\equiv 0 (solução constante)\n
y(x)\equiv 1 (solução constante)

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