Verifique que as equações a seguir são exatas e as resolva.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que a equação diferencial
é exata; (2) resolver essa equação, ou seja, encontrar a solução geral implícita (ou explícita quando possível).
Informações dadas:
- A equação está na forma
com - Precisa-se verificar a condição de exatidão e depois integrar para achar a potencial
tal que e .
Passo 2
Lembra a definição: uma equação
é exata em um domínio se existe uma função
com
Uma maneira prática de testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Vamos calcular essas derivadas parciais para os
e
dados.
Passo 3
Calcule
:
Calcule
:
Como
a condição de exatidão está satisfeita. Portanto a equação é exata (num domínio onde as derivadas são contínuas, por exemplo para todo
em
).
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
e
. Vamos achar
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Ao integrar em
,
é constante, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
. Calcule
:
Devemos ter
. Igualando,
Cancelando
dos dois lados obtemos
Passo 6
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
. Podemos então escrever a família de curvas nível:
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo o
anterior).
Passo 8
Se for desejável isolar
em termos de
, e desde que
, podemos escrever explicitamente
Observação: quando
(ou seja,
) a forma explícita não é válida; nesses valores podem aparecer curvas singulares ou ramos separados da família de soluções implícitas.
Resposta
ou equivalentemente