Verifique que as equações a seguir são exatas e as resolva.
2 x y d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar que a equação diferencial
2 x y\,dx+\left(x^{2}-1\right)\,dy=0
é exata; (2) resolver essa equação, ou seja, encontrar a solução geral implícita (ou explícita quando possível).
Informações dadas:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2xy,\qquad N(x,y)=x^{2}-1.
  • Precisa-se verificar a condição de exatidão e depois integrar para achar a potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 2

Lembra a definição: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata em um domínio se existe uma função \Phi(x,y) com
\Phi_x(x,y)=M(x,y)\quad\text{e}\quad \Phi_y(x,y)=N(x,y).
Uma maneira prática de testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular essas derivadas parciais para os M e N dados.

Passo 3

Calcule \partial M/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy\big)=2x.
Calcule \partial N/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-1\big)=2x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=2x=\frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão está satisfeita. Portanto a equação é exata (num domínio onde as derivadas são contínuas, por exemplo para todo (x,y) em \mathbb{R}^2).

Passo 4

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Vamos achar \Phi integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int 2xy\,dx.
Ao integrar em x, y é constante, então
\Phi(x,y)=x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 5

Agora usamos a condição \Phi_y=N para determinar h(y). Calcule \Phi_y:
\Phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y + h(y)\big)=x^{2}+h'(y).
Devemos ter \Phi_y(x,y)=N(x,y)=x^{2}-1. Igualando,
x^{2}+h'(y)=x^{2}-1.
Cancelando x^{2} dos dois lados obtemos
h'(y)=-1.

Passo 6

Integramos h'(y)=-1 em relação a y:
h(y)=\int -1\,dy = -y + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial
\Phi(x,y)=x^{2}y - y + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos então escrever a família de curvas nível:
x^{2}y - y = K,
onde K é uma constante arbitrária (absorvendo o C anterior).

Passo 8

Se for desejável isolar y em termos de x, e desde que x^{2}-1\neq 0, podemos escrever explicitamente
y=\frac{K}{x^{2}-1}.
Observação: quando x^{2}-1=0 (ou seja, x=\pm 1) a forma explícita não é válida; nesses valores podem aparecer curvas singulares ou ramos separados da família de soluções implícitas.

Resposta

x^{2}y - y = C
ou equivalentemente
y=\dfrac{C}{x^{2}-1}

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