Determine a solução geral da E.D.O.
, onde
é uma função contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 2 y’ + y = g(t) $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - 2 y’ + y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Obtemos uma raiz dupla $ r = 1 $.
Passo 3
Com a raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ - 2 y’ + y = g(t) $. A forma de $ y_p(t) $ depende da função $ g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função contínua genérica, a solução particular pode ser obtida usando métodos como o método dos coeficientes indeterminados ou o método da variação dos parâmetros.
Para manter a generalidade, vamos representar a solução particular como $ y_p(t) $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - 2 y’ + y = g(t) $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias e $ y_p(t) $ é uma solução particular da equação completa.