Determine a solução do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem uma equação do tipo $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e usar métodos de solução para equações homogêneas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A ideia aqui é substituir $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação característica fica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Podemos fatorar a equação:
r
Então, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = 2 $.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^2x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 1 $:
C1 çã
Segundo, precisamos encontrar $ y’(x) $ e aplicar $ y’(0) = 4 $.
Derivando $ y(x) $:
C2
Aplicando $ y’(0) = 4 $:
y(0) = 1 çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1 C1 + 2C2 = 4
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(C1 + 2C2) - (C1 + C2) = 4 - 1 C2 = 3
Substituindo $ C_2 = 3 $ na Equação 1:
C2 = 3

Resposta

Portanto, a solução do problema é:
y(x) = -2, e^x + 3, e^2x

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