Determine a solução do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem uma equação do tipo $ y’’ - 3y’ + 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e usar métodos de solução para equações homogêneas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A ideia aqui é substituir $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = 2 $.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ y(0) = 1 $:
Segundo, precisamos encontrar $ y’(x) $ e aplicar $ y’(0) = 4 $.
Derivando $ y(x) $:
Aplicando $ y’(0) = 4 $:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo $ C_2 = 3 $ na Equação 1:
Resposta
Portanto, a solução do problema é: