Encontre uma solução do PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa achar a solução da equação diferencial $ y’ = y $ que satisfaz a condição inicial $ y(1) = 32 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos usar métodos de resolução para encontrar a função $ y(x) $ que se ajusta a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação $ y’ = y $ significa. O $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, a taxa de variação de $ y $ conforme $ x $ muda. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual ao próprio $ y $.
Passo 3
Esse tipo de equação diferencial é conhecida como equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral é $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 0 $.
Passo 4
Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis. Isso envolve rearranjar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.
Passo 5
Reescrevendo a equação:
Dividindo ambos os lados por $ y $ (assumindo que $ y \neq 0 $):
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
A esquerda simplifica para $ \ln |y| $ e a direita para $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
Passo 7
Para isolar $ y $, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ K $, então:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 32 $ para encontrar o valor de $ K $:
Resolvendo para $ K $:
Resposta
A solução do PVI é: