Encontre uma solução do PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa achar a solução da equação diferencial $ y’ = y $ que satisfaz a condição inicial $ y(1) = 32 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e vamos usar métodos de resolução para encontrar a função $ y(x) $ que se ajusta a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação $ y’ = y $ significa. O $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, a taxa de variação de $ y $ conforme $ x $ muda. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual ao próprio $ y $.

Passo 3

Esse tipo de equação diferencial é conhecida como equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral é $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 0 $.

Passo 4

Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis. Isso envolve rearranjar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.

Passo 5

Reescrevendo a equação:
dydx = y
Dividindo ambos os lados por $ y $ (assumindo que $ y \neq 0 $):
y

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
A esquerda simplifica para $ \ln |y| $ e a direita para $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
integral 1y dydx dx = integral 1 , dx

Passo 7

Para isolar $ y $, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
y
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ K $, então:
y = e^x + C = e^x cdot e^C

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 32 $ para encontrar o valor de $ K $:
y(1) = 32
Resolvendo para $ K $:
K

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 32e cdot e^x = 32 e^x - 1

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