Determine a solução geral de \ddot{x}+x=T_{g}(t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}.
\begin{aligned} & \ddot{x}+x=0 \\\ & r^{2}+1=0 \Rightarrow r= \pm i \\\ & x h(t)=c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \rightarrow \text { homogênea } \\\ & y_{1}(t)=\cos t, \quad y_{2}(t)=\sin t \\\ & w=\left|\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\\\ -\sin t & \cos t \end{array}\right|=\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1 \\\ & v_{1}^{\prime}(t)=-y_{2}(t) \cdot d(t)=-\sin t \cdot \operatorname{tg} t=\frac{-\sin ^{2} t}{\cos t} \\\ & u_{2}^{\prime}(t)=y_{1}(t) \cdot d(t)=\cos t \cdot \operatorname{tg} t=\frac{\sin t}{\cos t} \end{aligned}ê
  • Para V_{2}(t) :
u_{2}(t)=\int \sin t d t=-\cos t
  • Para u_{1}(t):
\begin{aligned} & u_{1}(t)=-\int \frac{\sin ^{2} t}{\cos t} d t=-\int \frac{1-\cos ^{2} t}{\cos t} d t=-\int(\operatorname{sec} t-\cos t) d t \\\ & u_{1}(t)=-(\ln |\operatorname{sec} t+\tan t|-\sin t)=-\ln | \operatorname{sec} t+\tan t |+\sin t \\\ & x_{p}(t)=u_{1}(t) y_{1}(t)+u_{2}(t) y_{2}(t) \\\ & =(-\ln |\operatorname{sec} t+\tan t|+\sin t)\cos t+(-\cos t) \sin t \\\ & x_{p}(t)=-\ln |\operatorname{sec} t+\tan t| \cos t+\sin t \cos t-\cos t \sin t \\\ & x_{p}(t)=-\ln | \operatorname{sec} t+\tan t | \cos t \\\ & x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=c_{1} \cos t+c_{2} \sin t - \ln | \operatorname{sec} t+\tan t | \cos t \end{aligned}
A função \ln |\operatorname{sec} t+\tan t| só é válida para -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}, pois nesse intervalo o denominador da \operatorname{tg} t (ou seja, \cos t) não se anula.

Passo 1

O problema pede a solução geral da equação não-homogênea
\ddot{x}+x=\tan t,
no intervalo -\tfrac{\pi}{2}<t<\tfrac{\pi}{2}.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte g(t)=\tan t. Para resolver, vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
\ddot{x}+x=0.
A equação característica é
r^{2}+1=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t.

Passo 3

No método de variação de parâmetros, escolhemos duas soluções fundamentais
y_{1}(t)=\cos t,\quad y_{2}(t)=\sin t
e calculamos o wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 4

As fórmulas para as funções auxiliares v_{1}' e v_{2}' são
v_{1}'(t)=-\frac{y_{2}(t)\,g(t)}{W(t)} =-\sin t\;\tan t =-\frac{\sin^{2}t}{\cos t},
v_{2}'(t)=\frac{y_{1}(t)\,g(t)}{W(t)} =\cos t\;\tan t =\sin t.

Passo 5

Integramos para obter v_{1} e v_{2}:
v_{2}(t)=\int \sin t\,dt=-\cos t.
Para v_{1}(t), note que
v_{1}'(t)=-\frac{\sin^{2}t}{\cos t} =-\bigl(\operatorname{sec} t-\cos t\bigr),
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v_{1}(t) =-\int\bigl(\operatorname{sec} t-\cos t\bigr)\,dt =-\bigl(\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|-\sin t\bigr) =-\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|+\sin t.

Passo 6

A solução particular é
x_{p}(t) =v_{1}(t)\,y_{1}(t)+v_{2}(t)\,y_{2}(t) =\bigl(-\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|+\sin t\bigr)\cos t +(-\cos t)\sin t.
Simplificando os termos em \sin t\cos t:
x_{p}(t) =-\cos t\,\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Resposta

A solução geral da EDO é
x(t) =C_{1}\cos t + C_{2}\sin t -\cos t\,\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr),
válida em -\tfrac{\pi}{2}<t<\tfrac{\pi}{2}, onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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