(3 pontos) Resolva o seguinte PVI:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y= \begin{cases}0, & t<2 \\\ t, & 2<t<4, \quad y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=1 \\\\ 6, & t>4\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem
y''-4y'+3y = f(t),
com
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t<2,\\\ t, & 2<t<4,\\\\ 6, & t>4, \end{cases}
e condições iniciais
y(0)=3,\quad y'(0)=1.
Para resolver, vamos quebrar o problema em três intervalos [0,2), (2,4) e (4,\infty). Em cada intervalo, a equação é não homogênea com um certo f(t). A solução geral é a soma da solução da homogênea
y_h(t)=C_1e^t+C_2e^{3t}
e de uma solução particular y_p(t). Em seguida impomos continuidade de y e y' em t=2 e em t=4.

Passo 2

Intervalo [0,2): aqui f(t)=0, então
y_1(t)=A\,e^t + B\,e^{3t}.
Das condições iniciais em t=0:
y_1(0)=A+B=3, \quad y_1'(t)=A\,e^t+3B\,e^{3t}\;\Longrightarrow\;y_1'(0)=A+3B=1.
Resolvendo
\begin{cases} A+B=3,\\\ A+3B=1, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A=4,\;B=-1.
Logo
\boxed{y_1(t)=4e^t - e^{3t},\quad 0\le t<2.}

Passo 3

Intervalo (2,4): aqui f(t)=t. Procuramos particular da forma y_p(t)=a\,t+b. Então
y_p'=a,\quad y_p''=0,
e na EDO
0 -4a +3(at+b)=t \;\Longrightarrow\;3a\,t +(-4a+3b)=t.
Comparando coeficientes:
3a=1\;\Longrightarrow\;a=\tfrac13, \quad -4a+3b=0\;\Longrightarrow\;b=\tfrac49.
Assim a solução geral é
y_2(t)=C\,e^t + D\,e^{3t} + \frac t3 + \frac49.
Agora impomos continuidade em t=2:
y_2(2)=y_1(2^-),\quad y_2'(2)=y_1'(2^-).
Calculamos
y_1(2)=4e^2 - e^6,\quad y_1'(2)=4e^2 -3e^6,
y_2(2)=C\,e^2 + D\,e^6 + \frac23 + \frac49 = C\,e^2 + D\,e^6 + \frac{10}{9},
y_2'(t)=C\,e^t +3D\,e^{3t} + \frac13 \;\Longrightarrow\; y_2'(2)=C\,e^2 +3D\,e^6 + \frac13.
Igualando:
\begin{cases} C\,e^2 + D\,e^6 + \tfrac{10}9 = 4e^2 - e^6,\\\ C\,e^2 +3D\,e^6 + \tfrac13 = 4e^2 -3e^6. \end{cases}
Dessa forma obtém-se
D = -1 + \frac{7}{18e^6}, \quad C = 4 - \frac{3}{2e^2}.
Logo
\boxed{ y_2(t) =\Bigl(4-\frac{3}{2e^2}\Bigr)e^t +\Bigl(-1+\frac{7}{18e^6}\Bigr)e^{3t} +\frac t3 + \frac49,\quad 2<t<4. }

Passo 4

Intervalo (4,\infty): aqui f(t)=6. Procuramos particular constante y_p=A, de onde 3A=6\implies A=2. A solução geral é
y_3(t)=E\,e^t + F\,e^{3t} + 2.
Impondo continuidade em t=4:
y_3(4)=y_2(4^-),\quad y_3'(4)=y_2'(4^-).
Calculamos em t=4:
y_2(4)=C\,e^4 + D\,e^{12} + \frac{16}{9}, \quad y_2'(4)=C\,e^4 +3D\,e^{12} + \frac13.
E
y_3(4)=E\,e^4 +F\,e^{12} +2, \quad y_3'(4)=E\,e^4 +3F\,e^{12}.
Igualando e resolvendo para E,F
E = C - \frac{1}{2e^4}, \quad F = D + \frac{5}{18e^{12}}.
Substituindo os valores de C e D:
C=4-\frac{3}{2e^2}, \quad D=-1+\frac{7}{18e^6},
obtemos
E=4-\frac{3}{2e^2}-\frac{1}{2e^4}, \quad F=-1+\frac{7}{18e^6}+\frac{5}{18e^{12}}.
Portanto
\boxed{ y_3(t) =\Bigl(4-\frac{3}{2e^2}-\frac{1}{2e^4}\Bigr)e^t +\Bigl(-1+\frac{7}{18e^6}+\frac{5}{18e^{12}}\Bigr)e^{3t} +2,\quad t>4. }

Resposta

Para todo t\ge0,
y(t)= \begin{cases} 4e^t - e^{3t}, & 0\le t<2,\\[6pt] \displaystyle \Bigl(4-\frac{3}{2e^2}\Bigr)e^t +\Bigl(-1+\frac{7}{18e^6}\Bigr)e^{3t} +\frac t3 + \frac49, & 2<t<4,\\[8pt] \displaystyle \Bigl(4-\frac{3}{2e^2}-\frac{1}{2e^4}\Bigr)e^t +\Bigl(-1+\frac{7}{18e^6}+\frac{5}{18e^{12}}\Bigr)e^{3t} +2, & t>4. \end{cases}]

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