Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\frac{12}{s^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de \displaystyle \frac{12}{s^{4}}. Vamos usar a propriedade básica da transformada de Laplace que diz que, para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula ao nosso caso, identificamos n+1=4, logo n=3. Assim,
\mathcal{L}\{t^3\} = \frac{3!}{s^4} = \frac{6}{s^4}.

Passo 3

Queremos inverter \displaystyle \frac{12}{s^4}. Observe que
\frac{12}{s^4} = 2 \,\frac{6}{s^4} = 2\,\mathcal{L}\{t^3\}.
Pela linearidade da transformada inversa,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\tfrac{12}{s^4}\Big\} = 2\,\mathcal{L}^{-1}\Big\{\tfrac{6}{s^4}\Big\} = 2\,t^3.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\tfrac{12}{s^4}\Big\} = 2t^3.

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