Determine a solução geral da EDO dada e determine o maior intervalo sobre o qual a solução geral está definida.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada e determinar o maior intervalo onde essa solução é válida. A EDO é:
Vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear:
. Para isso, vamos dividir todos os termos por
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral de
:
Desconsideramos a constante
porque ela será eliminada no processo. Então:
Como estamos trabalhando com
positivo (para
ser real), podemos simplificar para:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 6
A equação agora está na forma:
Portanto, podemos integrar ambos os lados para encontrar
:
Integrando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Essa solução está definida para todos os
diferentes de zero, ou seja, no intervalo
.