Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^Sen x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função y = x^Sen x e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, queremos calcular d yd x. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada logarítmica, que é uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm uma base e um expoente que também variam. Para isso, vamos precisar da propriedade dos logaritmos para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural (que é o que usamos geralmente em cálculo) em ambos os lados da equação. Então, temos:
ln(y) = ln(x^Sen x)
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos transformar a parte direita da equação:
ln(y) = Sen(x) cdot ln(x)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x. Aqui, usaremos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo e a regra do produto no lado direito. Então, a derivada da esquerda é:
1y dydx
E para a direita, usando a regra do produto, teremos:
ddx(Sen(x) cdot ln(x)) = Sen(x) cdot ddx(ln(x)) + ln(x) cdot ddx(Sen(x))
Sabemos que ddx(ln(x)) = 1x e ddx(Sen(x)) = Cos(x). Portanto, substituindo, temos:
1y dydx = Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x)

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por y para isolarmos dydx:
dydx = y ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )
Já sabemos que y = x^Sen x. Substituindo isso na equação, temos:
dydx = x^Sen x ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )
Esse é o resultado da derivada. Caso você queira simplificar ainda mais a expressão, pode deixar assim mesmo ou trabalhar mais nela.

Resposta

A derivada de y = x^Sen x em relação a x é:
dydx = x^Sen x ( Sen(x) cdot 1x + ln(x) cdot Cos(x) )

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