Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisaríamos encontrar a derivada
usando derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica que facilita o cálculo da derivada de funções que envolvem produtos, quocientes ou potências, e isso é muito útil quando temos uma função complexa como essa. Para resolver, vamos precisar da definição de derivada e das propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da função para facilitar o processo de derivação. Então, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar os dois lados da equação em relação a
. Aqui, precisamos lembrar que, para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é:
Agora, para o lado direito, usamos a regra do produto para derivar
:
A derivada de
é
e, para
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, então a derivada de
é
. Assim, podemos substituir:
Passo 4
Então, juntando tudo, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, que é
:
Resposta
Portanto, a derivada
da função
é: