Determine a solução geral das EDO’s lineares:
d y-(y-1)^{2} d x=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da EDO
d y-(y-1)^{2} d x=0.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação diferencial relaciona d y e d x por (y-1)^{2}.
  • Queremos a família de soluções gerais y(x) que satisfaça essa equação (todas as soluções possíveis, incluindo soluções constantes se existirem).
  • Devemos estar atentos a pontos onde a manipulação algébrica (como dividir por algo) possa falhar, por exemplo quando y-1=0.

Passo 2

Transformando a equação para uma forma mais familiar: escrever em forma de derivada ordinária. Dividindo por d x (assumindo d x\neq0) obtemos
\frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}.
Este é um caso clássico de equação diferencial de primeira ordem que é separável: o lado direito é função só de y. Vou explicar o método separação de variáveis: se uma EDO pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=g(y)\,h(x),
então podemos reorganizar como
\frac{1}{g(y)}\,d y = h(x)\,d x
e integrar ambos os lados. No nosso caso h(x)=1 e g(y)=(y-1)^{-2} invertido, então podemos separar as variáveis assim:
\frac{d y}{(y-1)^{2}} = d x.
Observação importante: essa separação só é válida quando podemos dividir por (y-1)^{2}, ou seja, quando y\neq1. A solução y\equiv1 deve ser verificada separadamente (porque aí dividimos por zero).

Passo 3

Trabalhando o caso y\neq1. Vamos integrar ambos os lados da igualdade separada. Para facilitar, faço a substituição simples u=y-1. Então d u = d y e a integral do lado esquerdo fica
\int \frac{d y}{(y-1)^{2}} = \int \frac{d u}{u^{2}}.
Explico a regra que vou usar: a regra de potência diz que, para n\neq-1,
\int u^{n}\,d u = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos n=-2, logo n+1=-1, então a integral é bem definida e vale -u^{-1}+C.

Passo 4

Calculemos as integrais explicitamente:
\int \frac{d u}{u^{2}} = \int u^{-2}\,d u = -u^{-1}+C = -\frac{1}{u}+C.
Voltando à variável y (isto é, u=y-1), obtemos
-\frac{1}{y-1} = x + C,
onde C é a constante de integração (aqui aparece do lado direito porque integramos d x dando x + C).

Passo 5

Agora resolvemos essa expressão para y. Multiplicando por -1 e reorganizando, obtemos
\frac{1}{y-1} = -x + C_1,
onde C_1=-C é outra constante arbitrária (podemos renomear a constante sem problema). Denotando simplesmente a constante por \,C, escrevemos
\frac{1}{y-1} = C - x.
Invertendo ambos os lados (lembrando que isso exige C-x\neq0), chegamos a
y-1 = \frac{1}{C - x}.
Portanto
y(x) = 1 + \frac{1}{C - x},
onde \,C é uma constante real arbitrária e a solução vale para x\neq C (pois no ponto x=C a expressão tem singularidade).

Passo 6

Tratamento da solução constante y\equiv1. Se tentarmos y(x)=1 para todo x, então d y/d x=0 e (y-1)^{2}=0, logo a equação
\frac{d y}{d x}=(y-1)^{2}
é satisfeita. Portanto y\equiv1 é uma solução válida — é uma solução constante (equilíbrio) que não aparece na forma y=1+\dfrac{1}{C-x} para nenhum valor finito de \,C (ela pode ser vista como limite quando \,C\to\infty, mas é conveniente listá-la separadamente).

Passo 7

Verificação rápida da solução encontrada (para garantir que não cometi erro): para
y(x)=1+\frac{1}{C-x}
temos
y-1=\frac{1}{C-x}\quad\Rightarrow\quad (y-1)^{2}=\frac{1}{(C-x)^{2}}.
A derivada é
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{C-x}\right)=\frac{1}{(C-x)^{2}},
pois \dfrac{d}{d x}(C-x)^{-1}= -1\cdot (C-x)^{-2}\cdot(-1)=(C-x)^{-2}. Logo \dfrac{d y}{d x}=(y-1)^{2}, confirmando que a família encontrada de fato satisfaz a EDO (em seus pontos de definição).

Resposta

y(x)=1+\dfrac{1}{C-x},\;C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 1

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