Determine a solução geral das EDO’s lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da EDO
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação diferencial relaciona
e por . - Queremos a família de soluções gerais
que satisfaça essa equação (todas as soluções possíveis, incluindo soluções constantes se existirem). - Devemos estar atentos a pontos onde a manipulação algébrica (como dividir por algo) possa falhar, por exemplo quando
.
Passo 2
Transformando a equação para uma forma mais familiar: escrever em forma de derivada ordinária. Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Este é um caso clássico de equação diferencial de primeira ordem que é separável: o lado direito é função só de
. Vou explicar o método separação de variáveis: se uma EDO pode ser escrita como
então podemos reorganizar como
e integrar ambos os lados. No nosso caso
e
invertido, então podemos separar as variáveis assim:
Observação importante: essa separação só é válida quando podemos dividir por
, ou seja, quando
. A solução
deve ser verificada separadamente (porque aí dividimos por zero).
Passo 3
Trabalhando o caso
. Vamos integrar ambos os lados da igualdade separada. Para facilitar, faço a substituição simples
. Então
e a integral do lado esquerdo fica
Explico a regra que vou usar: a regra de potência diz que, para
,
Aqui temos
, logo
, então a integral é bem definida e vale
.
Passo 4
Calculemos as integrais explicitamente:
Voltando à variável
(isto é,
), obtemos
onde
é a constante de integração (aqui aparece do lado direito porque integramos
dando
).
Passo 5
Agora resolvemos essa expressão para
. Multiplicando por
e reorganizando, obtemos
onde
é outra constante arbitrária (podemos renomear a constante sem problema). Denotando simplesmente a constante por
, escrevemos
Invertendo ambos os lados (lembrando que isso exige
), chegamos a
Portanto
onde
é uma constante real arbitrária e a solução vale para
(pois no ponto
a expressão tem singularidade).
Passo 6
Tratamento da solução constante
. Se tentarmos
para todo
, então
e
, logo a equação
é satisfeita. Portanto
é uma solução válida — é uma solução constante (equilíbrio) que não aparece na forma
para nenhum valor finito de
(ela pode ser vista como limite quando
, mas é conveniente listá-la separadamente).
Passo 7
Verificação rápida da solução encontrada (para garantir que não cometi erro): para
temos
A derivada é
pois
. Logo
, confirmando que a família encontrada de fato satisfaz a EDO (em seus pontos de definição).